Extremum local d'une fonction de plusieurs variables

[Gpadide]

Bonjour, les exercices de type "etude des extrema locaux de f(x,y)=.." restent flou pour moi. Je cherche en fait une methode "type". Tout d'abord on cherche les points candidats, qui annulent le gradient, mais ensuite ?
Quelle est la methode pour montrer la réciprocité ? Il ya bien celle ou l'on calcule rt-s² mais elle est fastidieuse, et ne permet pas de conclure lorsque rt-s²=0. Simple confirmation : pour l'etude en un point (a,b) le But est bien l'etude du signe de f(a+h,b+h)-f(a,b) pour h proche de zero ?
Merci pour vos précisions.
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[invite6b1e2c2e]

Quelle est la methode pour montrer la réciprocité ? Il ya bien celle ou l'on calcule rt-s² mais elle est fastidieuse, et ne permet pas de conclure lorsque rt-s²=0. Simple confirmation : pour l'etude en un point (a,b) le But est bien l'etude du signe de f(a+h,b+h)-f(a,b) pour h proche de zero ?

Bonjour,

C'est presque ça : En fait, on fait une étude de signe de f(a+h1,b+h2) - f(a,b), pour h=(h1,h2) au voisinage de 0.

Pour étudier ce signe, tu as un problème, parce qu'à l'ordre 2, ça te donne une forme quadratique en (h1,h2), et tu as besoin que cette forme quadratique soit

- définie positive pour dire que le signe est positif, et donc obtenir un minimum local ;

- définie négative pour un maximum local ;

Dans les autres cas, tu ne peux pas conclure. Il te faut pousser ton développement plus loin. Je crois me souvenir que Doudache a posté il n'y a pas très longtemps une méthode très détaillée pour l'étude des extrema locaux, suite à une question très proche de la tienne. Tu devrais fouiller un peu dans les archives du forum (je dirai moins de 2 pages ).

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rvz

[Etile]

En effet, et c'est ce sujet : http://forums.futura-sciences.com/thread80509.html
oops, pas le meme en fait, mais ca peut t'être utile je pense

[Scorp]

En effet, et c'est ce sujet : http://forums.futura-sciences.com/thread80509.html

Ha oui, je confirme, ce post est très interressant pour ceux qui comme moi étaient dans le flou pour les recherches d'extremum. La méthode proposée avec la Hessienne est vraiment très pratique. Par contre, cette méthode n'est utile que lorsqu'on se place sur un ouvert. Pour un fermer, les extremums ne sont pas forcément des points critiques, non ? A priori, quand on a un fermé, il faudrait se placer sur l'ouvert le plus grand possible, faire la recherche avec point critique, hessienne etc... Puis effectuer une autre recherche sur les points du bord.A-t-on une méthode pour effectuer cette recherche (autre que de se débrouiller comme on peut) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etile]

Oui, celle du multiplicateur de lagrange..

[invite6b1e2c2e]

Oui, pour les fermés, on a des problèmes. Mais c'est toujours le cas, même sur R !
En fait, ça vient du fait que quand on dérive, on regarde le comportement sur un voisinage d'un point, et si ce voisinage n'a de sens que d'un coté, on est mal.
Par exemple, quand tu veux calculer les extrema de f(x) = x sur [-1,1], évidemment la dérivée ne s'annule pas, mais -1 et 1 sont bien sûr extrema locaux.

En général, quand c'est fermé, néanmoins, on peut faire une méthode légèrement plus efficace que ce que tu proposes en utilisant les multiplicateurs de Lagrange. En effet, si tu supposes que le bord t'est donné par une équation (par exemple, ton fermé est le disque unité fermé), alors en fait tu cherches un extremum sous contrainte.
Regardons ça de plus près. Essayons de déterminer un min local de f(x,y) sous la condition g(x,y) = 0
Supposons que (x0,y0) est un minimum local de f sous cette contrainte.
Alors on peut "sous certaines bonnes conditions" paramétrer localement la courbe définie par g par y = y0 +h(x). Et dire que (x0,y0) est bien un minimum local signifie que f(x,y0+ h(x)) atteint un minimum local en x0
Ce qui veut encore dire que
Or g(x,y0+h(x)) = 0 par définition, donc

Et donc, en mettant tout ça bout à bout, on voit que gradient(f) et gradient(g) sont orthogonaux au même vecteur (1,h'(x0)), et donc, ils sont parallèles. On en déduit qu'il existe un a, appelé multiplicateur de Lagrange, tel que


Donc, en général, quand on travaille sur un bord, via cette méthode, dont vous trouverez plus de détails sur wiki ou autre mathworld, on commence par chercher les points où les gradients sont colinéaires, ce vire déjà un certain nombre de points.

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rvz

[Scorp]

Supposons que (x0,y0) est un minimum local de f sous cette contrainte.
Alors on peut "sous certaines bonnes conditions" paramétrer localement la courbe définie par g par y = y0 +h(x).

Ok, je pense avoir a peu près cerné la chose. Par contre, tu ne parle de "ces contraintes". D'après ce que j'ai pu comprendre, tu dit g(x,y)=0, donc g(x0,y0)=0. Pour paramétrer, il me semble donc que tu utilise le théorème des fonctions implicites appliqué à g en (x0, y0). Il faut donc que . Est ce que c'est la condition dont tu parle, ou est ce que j'ai rien compris ? A priori, il y a plusieurs conditions vu ton message. Quelles sont les autres ?
En tout cas, merci de ta réponse rvz (les explications de etile sur les multiplicateurs de lagrange était un peu limitées )

[invite6b1e2c2e]

Je crois que dans ce cas particulier, les "bonnes conditions" sont justes de la forme : gradient de g ne s'annule pas, ie, plus faible que ce que tu as écrit.
En effet, on a besoin de la condition que tu as donnée si on veut paramétrer notre courbe g(x,y) = 0 sous la forme x -> (x,y(x)). Cela dit, on pourrait aussi vouloir la paramétrer sous la forme y -> (x(y),y). Ce qui est possible sous la deuxième condition.

Tu remarqueras au passage que si le gradient de g s'annule, la condition des multiplicateurs de Lagrange n'apporte pas grand chose, parce qu'il y a beaucoup de vecteurs colinéaires à 0

Bon, évidemment, j'avais mis ça pour qu'on ne me fasse pas d'objections sur mes paramétrisations, et pour qu'on ne perde pas le fil de l'idée dans des détails techniques.
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rvz