fonction de plusieurs variables

[Bobby]

Bonjour

je fais un tutorat dans quelques jours et j'ai un peu de mal avec l'exercice suivant. Je dois étudier la continuité, la différentiabilité et le caractère de la fonction définie par sur et valant 0 en (0,0). J'obtiens la continuité à l'aide du passage en coordonnées polaires. Elle n'est pas dans la mesure où les dérivées partielles ne sont pas continues. En revanche je ne parviens pas à déterminer une différentielle. Quel sens donner à si on ne peut pas déterminer la valeur des dérivées partielles en (0,0) ?
Merci d'avance
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[cedbont]

Bonjour,
et si tes dérivées partielles étaient continues...

[Bobby]

Je ne le crois pas. Après calcul je trouve

Alors

et

qui n'admettent pas la même limite lorsque x tend vers 0.

[cedbont]

Ca me paraît bizarre de faire df(x,x)/dx, parce que cela revient aussi à dériver par rapport à y.
Je pense que df(0,0)/dx est égal à la limite de df(x,0)/dx lorsque x tend vers 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

En revanche je ne parviens pas à déterminer une différentielle. Quel sens donner à si on ne peut pas déterminer la valeur des dérivées partielles en (0,0) ?

On peut tout à fait obtenir ces valeurs même si les dérivées partielles ne sont pas continues !

On calcule :

[invitebb921944]

Ca me paraît bizarre de faire df(x,x)/dx, parce que cela revient aussi à dériver par rapport à y.

Non, en fait il dérive d'abord par rapport à x et après, il calcule l'image de cette dérivée au point de coordonnée (x,x) (on pourrait l'appeller (a,a) pour éviter des confusions).

[Bobby]

Ok en appliquant la définition de Ganash,et à supposer que f est bien différentiable, on a

Alors

qui manifestement n'est pas un
Cela suffit-il néannmoins pour montrer que f n'est pas différentiable ?

[invitebb921944]

Je ne comprends pas pourquoi tu dis que f n'est pas différentiable.
f est différentiable de manière évidente pour tous (x,y) différent de (0,0), on étudie ensuite sa différentiabilité en (0,0).
Pour cela, on calcule la quantité :

et on montre que
tend vers 0 en (0,0).
Alors on pourra dire que la fonction est différentiable en (0,0).
On ne pourra par contre pas dire que la fonction est C^1 (car les dérivées partielles ne sont pas continues, donc la différentielle ne l'est clairement pas non plus !)

[Bobby]

Justement c'est ce que je fais au dessus en disant que la quantité que tu appelles delta n'est pas un petit o de ||(x,y)||.

qui ne tend pas vers 0 en (0,0). Ca se voit en choisissant y=0 et y=-x.

[invitebb921944]

Ah d'accord mais dans ce cas je ne trouve pas la même chose que toi pour delta !
f(0,0)=0
df/dx(0,0)=1 et df/dy(0,0)=-1
Donc delta=f(x,y)-0-1-(-1)=f(x,y)
Or, |f(x,y)/(x²+y²)^(1/2)| tend bien vers 0 en (0,0).

[Bobby]

La différentielle au point a est l'application linéaire donnée par la formule

C'est-à-dire que pour tout vecteur elle associe le nombre


Dans ton calcul tu sembles avoir omis les . Dans notre cas si tu ne les considères pas tu obtiens


c'est bien linéaire. En revanche si on avait eu par exemple

la différentielle aurait valu 1, qui n'est pas une application linéaire.