Dérivée partielle de fonction à plusieurs variables

[inviteb4d8c3b4]

Salut à tous !

j'ai une fonction à 2 variables qui est la suivante:



1°question: montrer qu'elle est continue.

J'ai donc écrit: Elle est définie sur R²-{(0,0) ; (x=y)}. De plus, vue qu'elle est définie apr une opération arithmétique, elle est continue sur ce même ensemble.

Ca, je pense avoir bon.

2° question: étudier la dérivabilité

Il faut donc que je calcule déjà les dérivées partielles et c'est là mon souci. Je pense que c'est juste dû à un manque de technicité. Si je dérive f(x,y) par rapport à x en fixant y, j'obtient:



Déjà ici, je sais pas si j'ai bon avant de continuer sur la dérivée par rapport à y. J'aimerai donc avoir votre avis, un indice, quelquechose. J'ai fait une identification par rapport à la forme générale .

Où est le problème SVP ?

Merci d'avance !
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[invitef16d06a2]

salut,

pour répondre à ta première question, tu devrait reformuler ta réponse en faisant intervenir des termes comme somme de fonction et une dérivée de fonction (pas facile à formuler)

pour la seconde question, tu as oublié de mettre au carré au dénominateur et pour ton numérateur tu peux développer tes termes, sinon c'est correcte

[invitef16d06a2]

n'oublie pas de vérifier le théorème de cauchy swartz pour tes termes croisés

[Bobby]

Salut JeanMi,

tout d'abord un moyen simple pour s'en sortir à la première question est d'invoquer les "théorèmes généraux" pour le plan en dehors de l'origine. Après je ne sais pas trop pourquoi tu as exclu la première bissectrice de ton ensemble de définition, cela faisait-il partie de l'énoncé ? Tu n'as pas traîté la continuité en 0, quand tu as une expression sympatique comme celle-ci tu peux passer par les coordonnées polaires.
Comme dit avant moi ton calcul de dérivée partielle est correct en dehors du carré manquant au dénominateur, je suppose qu'il s'agit d'une coquille. Pour conclure tu pourras alors appliquer un théorème du cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4d8c3b4]

Merci à vous deux pour vos réponses ! Ok pour les dérivées partielles. Pour la première question, l'énoncé donnait juste la fraction et comme indication f(0,0) = 0.

Effectivement, corrigez-moi si je me trompe, 0 est bien un résultat et pas un signe de non-définition, je n'aurais pas dû l'exclure, juste donc x=y.
Ok, je vais faire intervenir des termes de sommes de fonction dans ma phrase et invoquer les termes généraux, je comprends bien.

Cependant, je ne comprends pas, Bobby, quand tu parles de traiter la continuité en 0 ? Veux-tu dire qu'il faudrait faire un test par prolongement de continuité en 0 ? Passer par les coordonnées polaires, je vois pas non plus ce que c'est, ni le théorême de Cauchy, ni les termes croisés !

PS: je débute dans les fonctions à plusieurs variables, j'ai peut-être pas vu encore ça si cela correspond à du cours plus avancé !?

Merci d'avance

[Bobby]

Effectivement, corrigez-moi si je me trompe, 0 est bien un résultat et pas un signe de non-définition, je n'aurais pas dû l'exclure, juste donc x=y.
Ok, je vais faire intervenir des termes de sommes de fonction dans ma phrase et invoquer les termes généraux, je comprends bien.

La valeur 0 n'est pas un résultat dans la mesure où f n'est pas définie à l'origine, l'énoncé aurait pu attribuer la valeur 1. En revanche cela pourrait changer des propriétés comme la continuité ou la dérivabilité. Ensuite pourquoi veux-tu exclure la droite d'équation x=y ? f(x,x) est tout à fait défini, sauf pour x=0 bien entendu. Je ne sais pas à quel niveau tu étudies les maths vu ton âge mais les théorèmes généraux simplifient les choses. Il s'agit juste d'écrire "D'après les théorèmes généraux, f est continue et dérivable sur R²-{0,0,}", une pirouette en quelque sorte, généralement ça passe.

Cependant, je ne comprends pas, Bobby, quand tu parles de traiter la continuité en 0 ? Veux-tu dire qu'il faudrait faire un test par prolongement de continuité en 0 ?

Grâce aux fameux théorèmes généraux tu as établi la continuité de f sur tout le plan en dehors de l'origine, il faut donc naturellement la montrer en ce point. Pour ceci tu dois montrer que la limite de f(x,y) tend bien vers f(0,0)=0 quand (x,y) tend vers (0,0), quelque soit le "chemin" choisi par (x,y). Par exemple si ton point se déplace sur l'axe des abscisses tu auras juste à évaluer f(x,0), qui vaut , ça tend bien vers 0 quand x tend vers 0. De même f(x,x) vaut 0 et donc tend bien vers 0 quand x tend vers 0. Si ce n'avait pas été le cas tu aurais pu en conclure que f n'est pas continue en 0. Pour établir la continuité tu dois donc traîter tous les chemins possibles. Afin d'y arriver tu peux te ramener à des coordonnées polaires. Au lieu d'avoir les coordonnées cartésiennes (x,y) tu choisis les coordonnées polaires (r,t) où r et t désignent le rayon et l'angle. Ainsi x=r*cos(t) et y=r*sin(t). Ta fonction s'écrit alors
Maintenant que tu as ceci, il suffit que le rayon r tende vers 0 pour que ton point de coordonnées (x,y) tende vers l'origine, quelque soit le comportement de l'angle t.

J'espère avoir été clair, je te laisse réfléchir pour la dérivabilité.

[inviteb4d8c3b4]

Merci à tous, vous m'avez bien aidé. j'avance dans le programme et je suis en train de voir les matrices jacobiennes et les différentielles version polaire.

L'histoire, pour répondre à Bobby, c'est que j'ai 30 ans, niveau BAC+2 scientifique (BTS électronique), et je reprend les études depuis février dernier (j'ai réussi le concours d'entrée aux Mines à Albi). Mais ça fait des années et des années que j'avais quitté le cursus scolaire, alors c'est pas évident tout ça, même si ça semble l'être pour vous.

Merci encore beaucoup pour votre aide, elle est précieuse !

A+

[inviteee854c7a]

Bonsoir à tous,

Je suis entrain de me prendre la tête sur des dérivées partielles, je n'y arrive pas, je viens donc vous demander un petit coup de main.
Voilà ma fonction:
f(x,théta)=théta1 + ( (théta2 - théta1) / (1 + exp ( théta3 ( x - théta 4 ) ) ) )
Je dois faire la dérivée partielle de f par rapport à chaque théta.

Si quelqu'un pouvait m'aider.