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Principia Mathematica, Conséquences immédiates



  1. #1
    Slereah

    Principia Mathematica, Conséquences immédiates


    ------

    En essayant de démontrer les propositions du Principia Mathematica, je suis tombé sur celle là, la 2.56 (je suis à peu près sûr que c'est ça, malgré les notations de Russel qui ne sont pas toujours très transparentes) :

    ~q -> ( (p\/q) -> p )

    Les deux références pour prouver cette proposition sont la 2.55 :

    ~q -> ( (q\/p) -> p )

    Et le principe de permutation (Perm.) :

    (p\/q) -> (q\/p)

    Je pourrais certe dire que en plus d'être une simple implication, c'est même une équivalence et remplacer, mais l'équivalence n'a pas encore été définie.

    Jusque là, les méthodes de preuves sont à base de substitutions de variables, du modus ponens (si f est vrai et f->h est vrai alors h est vrai) et d'une singerie avec le principe de syllogisme permettant d'écrire que si sont vrais P1->P2, P2->P3, ... et Pn-1->Pn alors P1->Pn est vrai.

    Lorsque je tente d'utiliser le coup du syllogisme sur 2.55 et Perm., je retombe (au bout d'une page, car il ne faut pas gâcher le suspens) sur 2.55. Et si j'essaye de faire ressembler Perm. à 2.56, en espérant pouvoir y rattacher 2.55 par la suite, je retombe plus ou moins sur p->p, ( (p\/q) -> p ) -> ( (p\/q) -> p ) pour être exact. D'autres manipulations ne m'ont pas plus aidées. Le problème semble être que je n'arrive pas à transformer le (p ou q) en (q ou p) car celui-ci se planque dans les parenthèses, rendant la poignée d'axiomes difficile à appliquer.

    Quelqu'un aurait-il une idée sur quoi diable Russell avait en tête à propos de cette proposition?

    -----

  2. #2
    Taar

    Re : Principia Mathematica, Conséquences immédiates

    Salut.

    Citation Envoyé par Slereah Voir le message
    En essayant de démontrer les propositions du Principia Mathematica
    Très bonne lecture !


    La clé est que

    ( (qVp) -> p ) -> ( (pVq) -> p )

    Or, (pVq) -> (qVp)

    Le syllogisme (comme théorème, pas comme principe) (2.06 dans les Principia) donne

    ( (pVq) -> (qVp) ) -> [ ( (qVp) ->p ) -> ( (pVq) -> p ) ]

    Donc Modus Ponens donne la clé cherchée.

    Voilà.

    Taar.

  3. #3
    Slereah

    Re : Principia Mathematica, Conséquences immédiates

    L'astuce marche bien. Merci!
    /Ze.kRi fO.ne.tik.mA~ a.a.a:/

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