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Extrema d'une fonction a plusieurs variables



  1. #1
    r-one

    Extrema d'une fonction a plusieurs variables


    ------

    Bonjour,
    Je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'aider en m'expliquant comment on fait pour etudier les extrema d'une fonction a plusieurs variables ...
    (Mon niveau Deug Mias)

    Merci

    -----

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  3. #2
    Sephi

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Il me semble que l'on parle alors d'extrema liés ...

    Il s'agit en fait d'étudier les extrema de la fonction, mais par rapport à un lieu géométrique donné. Par exemple, pour une fonction de lR² dans lR³, le graphe est une surface. On coupe cette surface par un plan, et on regarde les extrema de l'intersection de la surface avec le plan. Ce sont donc les extrema liés à ce plan qui coupe.

  4. #3
    Quinto

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Les extremas ne sont pas forcément les points où le gradient s'annule, cependant, aux extrema locaux le gradient s'annule.
    Ainsi, on peut déjà commencer par regarder quand le gradient s'annule.
    Ensuite on a juste a regarder si c'est un minimum, un maximum, ou rien du tout...

  5. #4
    martini_bird

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Citation Envoyé par Quinto
    Ensuite on a juste a regarder si c'est un minimum, un maximum, ou rien du tout...
    En regardant les valeurs propres de la hessienne.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Non pas nécessairement:
    etudier le signe de f(x+h)-f(x) suffit...
    Ah la la, on oublie souvent ce que signifie etre un extremum ....

  8. #6
    martini_bird

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Citation Envoyé par Quinto
    Non pas nécessairement:
    etudier le signe de f(x+h)-f(x) suffit...
    Ah la la, on oublie souvent ce que signifie etre un extremum ....
    Euh... J'avoue que c'est un peu loin.

    Mais si tu étudies le signe de f(x+h)-f(x), tu dois le faire dans toutes les directions, n'est-ce pas?

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  10. #7
    Quinto

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Exact, mais il y'a des cas plus faciles que d'autres...
    un exemple tellement bete qu'on a pas besoin de cette théorie, mais faison le quand meme:

    f(x,y)=x^2+y^2
    f(0+h,0+k)-f(0,0)=h^2+k^2>0 pour tout (h,k)

    Donc (0,0) est un minimum, et on a traité toutes les directions d'un coup...
    Bon on avait pas besoin de ca, mais c'était pour l'exemple...

  11. #8
    martini_bird

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    D'accord, c'est bien ce que je pensais.

    Merci.

  12. #9
    Quinto

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Posts croisés: j'ai édité mon dernier message pour y caser l'exemple...

  13. #10
    r-one

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Merci pour les reponses...
    En fait je regarde quand le gradient s'annule, et ensuite j'étudie le signe de f(x+h)-f(x) . Mais la le x représente quoi ? et le h ?
    Je suppose que x c'est le point ou le gradient s'annule et h un point quelconque ? c ca ?
    Je galere trop et j'ai un devoir trés bientot sur ca...

    Bye

  14. #11
    martini_bird

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Citation Envoyé par r-one
    Merci pour les reponses...
    En fait je regarde quand le gradient s'annule, et ensuite j'étudie le signe de f(x+h)-f(x) . Mais la le x représente quoi ? et le h ?
    Je suppose que x c'est le point ou le gradient s'annule et h un point quelconque ? c ca ?
    Je galere trop et j'ai un devoir trés bientot sur ca...

    Bye
    C'est bien ça, à ceci près que tu considères h "petit": c'est une étude locale.

  15. #12
    r-one

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Citation Envoyé par martini_bird
    C'est bien ça, à ceci près que tu considères h "petit": c'est une étude locale.
    Ok merci...Mais aprés j'interprete comment ? si c >0 c un minimum,<0 un maximum...Et quand c une inflexion c =0 ?

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  17. #13
    Quinto

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Merci d'écrire correctement.
    Ensuite il suffit de reflechir pour avoir les réponses à tes questions.

  18. #14
    criticus

    Talking Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Vas voir là :

    http://www.math-info.univ-paris5.fr/...C2/node58.html

    C'est comme l'oeuf de Christophe Colomb : il suffisait d'y penser ! C'est pourtant simple mes aïeux !

  19. #15
    orion77

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    il mesemble que pour les détemriner il faut calculer les dérivées partielles sur les 3 coordonnées donc calculer le gradient de la fonction relativement simple dans un système de coordonnées cartésiennes par contre en sphérique c'est une vrai galère pour le peu que je m'en souviens.

  20. #16
    r-one

    Re : Extrema d'une fonction a plusieurs variables

    Citation Envoyé par criticus
    Vas voir là :

    http://www.math-info.univ-paris5.fr/...C2/node58.html

    C'est comme l'oeuf de Christophe Colomb : il suffisait d'y penser ! C'est pourtant simple mes aïeux !
    Merci bien

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