De l'équation de Pythagore à celle de Fermat: La généralisation

[invite54cf07b0]

Toutefois, je tiens juste à rajoueter que même si ta démosntration est juste, tu auras juste démontrer que : (on supose n>2)
Si
aⁿ + bⁿ = cⁿ alors a² + b² ne peut être égal à c². Donc par contraposée, on aurait si (a, b, c) est un triplet pythagoricien alors le théorème de Fermat est vrai pour (a, b, c). Donc, tu n'aurais de toutes les façons pas démontré le grand théorème de Fermat, mais tu l'aurais démontré pour le cas bien particulier où les entiers considérés constituent un triplet pythagoricien.

Attention, dans mon raisonnement j'essaie de différencier les triplets pythagoriciens (a,b,c) des triplets de Fermat (x,y,z). pourquoi? C'est justement pour ne pas donner cette impression là et par ce que lorsqu'on change d'exposant n, le triplet (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) doit obligatoirement changer aussi et inversement.


EDIT : quoiqu'il en soit, je n'ai toujours pas compris ton "pour rester dans l'esprit de l'équation de Fermat". Je m'en fiche de rester ou non dans l'esprit d'une équation (ne vois rien d'agressif dans ce propos). Je veux juste une démonstration juste. Le fait est que rien n'impose d'avoir le même exposant quand on lit ton développement...

On doit respecter la forme de l'équation, c'est comme une contrainte, une donnée du problème: x,y et z doivent figurés dans l'équation avec le même exposant.
-----

[invite5fb20d44]

Bonsoir Gaétan, merci pour cette reformulation.

1ère étape:
Si (a,b,c) est un triplet d'entiers qui vérifient l'équation de Pythagore
a²+b²=c² (1)

alors l'égalité suivante est vraie
(a^2/n)^n+(b^2/n)^2=(c^2/n)^n

Si on pose x=a^2/n, y=b^2/n et z=c^2/n

on obtient bien l'équation de Fermat

xⁿ+yⁿ=zⁿ (2)

On est d'accord?

D'accord jusque là.

Etape 2:
Fermat affirme que les triplets (x,y,z) solutions de son équation ne peuvent pas être des triplets d'entiers pour tout n>2.

Cette étape n'en est pas une. Rappeller au milieu d'un raisonnement le résultat que l'on veut démontrer est au mieux sans intérêt, au pire la source d'un raisonnement circulaire. Je l'oublis donc.

Etape 3:

Essayons de raisonner et dites-moi, svp:

Si a, b et c sont des entiers est ce que a^2/n, b^2/n et c^2/n peuvent l'être également?

Et c'est là que je te dis : c'est sans importance. Aucune !
S'ils peuvent l'être, alors oui, tu as un contre-exemple au théorème de Fermat. S'ils ne peuvent pas, cela ne te dit rien de plus. Or tu montres qu'ils ne peuvent pas. Donc tu ne sais rien de plus.

Réponse:
Oui, quand n=1 ou n=2 c'est-à-dire quand n est un diviseur de 2.
Mais, lorsque n n'est pas diviseur de 2 c'est-à-dire, lorsque n>2 (la fameuse condition!), il faudra que a, b et c soient trois produits de même puissance m=kn (k=1,2,3...) c'est-à-dire que
a=X^m, b=Y^m et c=Z^m

ce qui nous donne l'équation suivante:

(X^m)²+(Y^m)²=(Z^m)²

On est d'accord?

Donc, pour donner la preuve du GTF il va falloir prouver que le triplet (X^m,Y^m,Z^m) ne peut pas constituer les côtés d'un triangle rectangle pour tout m>=2.

Alors là, c'est du très grand n'importe quoi. Je te rappelle que d'après ton raisonnement il faut que a, b et c soient des puissances m-ièmes (d'entiers, je suppose). Le seul entier qui soit une puissance m-ième, pour tout m>2, c'est 1.

J'arrête là. J'ai souligné ce qui me semble être le problème majeur de cette démarche : la supposition que les a^2/n doivent être des entiers pour que l'équation de Fermat admette des racines. C'est tout simplement faux.

Bonne soirée.

[invite54cf07b0]

Salut Bloud
Tu écris:
Maintenant que j'y pense, le résultat de ta démo est directement donné par ta propriété 1. Il suffit donc de la démontrer pour tomber sur ta conclusion. Tu tournes un peu en rond...

Attention, Fermat affirme que les triplets (x,y,z) solutions de son équation ne peuvent pas être des triplets d'entiers.

La propriété 1 que tu évoques ne démontre pas cela malheureusement! Cette propriété dit ceci: si (x,y,z) a vérifié l'équation de Fermat pour pour un certain exposant n, ce triplet ne peut plus vérifier la même équation pour un autre exposant p différent de n. Et ça ce n'est pas le GTF!
On est d'accord?



Je suis assez d'accord avec les autres, reformule ta démo, c'est trop flou.

Dimitri.[/QUOTE]

[invite455504f8]

je me demande combien de temps ça va durer...j'ai déjà vu des posts comme celui-là s'étaler presque sans fin...
tous les bons arguments ont été donnés il me semble...peut-être Gaétan devrait-il soumettre un article pour publication dans une revue à comité de lecture?

[inviteeac53e14]

Je crois bien aussi...

[leg]

bonjour à tous ,salut gaétan.

a) l'équation de fermat peut se ramener à Pythagore .
c'est à dire un triplet de racines carrée formant un triangle rectangle tel que l'affirme Gaétan!

b) il faut considérer le cas de l'exposant n pair

c) puis celui de n premier d'où le triangle rectangle sont trois réel algébrique ou trois racine carrées algébriques.

des lors que sont le couple de paramètre p et q
pour n = 2;
les entiers naturels de n =1 c'est a dire plus précisément les racines carrées de entiers à la puissance n =2!

gaétan démontre que le paramétrage de p et q est impossible quelque soit n>2 et pair, par une évidence du cas N =4 qui se généralise.....

exemple le triplet primitif: x², y² et z² est impossible tout comme l'est le triplet x³,y³et z²
quelque soit p et q!

Fermat démontre avec cette propriété
p²+ q² = z²
p² - q² = x²
2pq = y²
ce qui rend impossible un paramétrage avec deux réel p et q ou le cas N = 4 serait faux! ce qui est absurde.

Gaétan peut montré pourquoi...

on peut même démontrer que lorsque justement p et q sont des réel alors le triplet primitif ne peut être un triplet de racines carrées entieres pour n>= 1,2,3...etc donc impossible de former un triangle rectangle qui vérifierait la relation de Pythagore et donc celle de Fermat pout n>2
...
il est clair aussi qu'il existe une infinité de triplets multiples d'un triplets primitifqui peuvent être paramétrés avec p' et q' réel mais pas différent de ceux donné par p et q entiers et un facteur k entier! ce qui ne contredit rien et n'apporte rien de plus. on reste dans les triplets primitifs.

il est impératif que Gaétan montre pourquoi le cas n pair se résoud de façon générale! avant de continuer,sur n premier! pour éviter toutes confusion.

[leg]

A Gaétan : Concernant le document, il est passablement flou. Ce que j'ai réussi à en comprendre, c'est que si (x, y, z) est une solution de Fermat, alors elle ne peut pas provenir d'un triplet pythagoricien. C'est loin d'être le théorème de Fermat. Très loin.

je pense le contraire: si une solution de fermat existe alors il existe un triplet pythagoricien formant un triangle rectangle, qui vérifie la relation de pythagore et celle de Fermat
(p²+q²)² = (p²-q²)² + (2pq)²

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Toute cette discussion a un gros goût de déjà vu. Je crois me souvenir que la dernière fois, ça avait dégénéré, j'espère que ce ne sera pas à nouveau le cas.
Toujours est il que la dernière fois, il me semble que Gaetan avait démontré que pour tout triplet de rééls tel que x^2 + y^2 =z^2, il était impossible d'avoir x^n +y^n =z^n avec n différent de 2.
Cette fois ci, il propose de démontrer que si x^n +y^n =z^n, alors x^2+ y^2 est différent de z^2. C'est exactement la contrapposée !
Du coup, les remarques seront les mêmes que la dernière fois :
Le théorème de Fermat stipule qu'il sagit de nombres ENTIERs QUELCONQUEs, c'est-à-dire :
Si on oublie le coté entier, il y a des solutions non triviales à l'équation x^n + y^n = z^n.
Si on oublie quelconque, (par exemple en imposant x^2 +y^2 = z^2), alors il n'y a pas de solution avec n différent de 2. (Je me souviens d'ailleurs que Gaetan affirmait qu'il n'existait pas de solution (ni entière ni réélle) à l'équation x +y = z... )

Au fait, je me demande quelles sont les preuves que vous connaissez du théorème de Pythagore ?
La seule preuve que je connaisse est celle où on met 4 copies de notre triangle rectangle côte à côte, ou plutot tête bêche, hypothénuse vers l'extérieure, ce qui constitue un carré d'aire c^2. Une autre manière de calculer l'aire est de le faire triangle par triangle puis le carré du milieu : Ca donne 4 (a b /2) +(b-a)^2 = a^2 + b^2.
__
rvz

[leg]

Certainement pas. Si on parle de solutions réelles positives, alors résoudre l'une revient à résoudre l'autre. Mais ici il est question d'entiers. Tu décides de faire un tour par les réels, avec x^2/n, puis tu décides, nul ne sait pourquoi, que ces réels se doivent d'être des entiers.

Aucun doute sur ça. Sauf qu'ensuite tu affirmes que le triplet (a, b, c) est un triplet d'entiers. C'est là le problème.

c'est exact, et ceci ne pourrait démontrer que le cas n >2 et pairleg



En l'état, elles sont noyées dans un enchaînement d'affirmations difficile à comprendre.

Merci de bien vouloir faire cet effort.

Cordialement.

il passe des entiers aux réel algébriques car pour n>2 et premier, le triangle rectangle ne peut être constitué qu'avec les racines carrée des entiers à la puissance n>2 est première!
par exemple sqrt de Y³ serait donné avec p=u³q = (v³)/2
donc 2pq = y³= (u³)(v³)
et en choisissant p et q dans les racines carrées algébriques on obtiendarit la même chose: sqrt y³.

[leg]

Salut,


Au fait, je me demande quelles sont les preuves que vous connaissez du théorème de Pythagore ?
__
rvz

on l'à trouve de partout
deux carrés un de côté A; où A = x+y
à l'interieur un carré de côté z
A² = 2xy + x² + y² .
ou
A² = 2xy +z²
en supprimant 2xy il reste bien x²+y²=z² qui est la relation de pythagore ..je pense que tout les intervenant connaissent cette relation sans faire devier le sujet.
par contre , en supposant que A = 7,x=3 et y=4
avec y il est possible de retracer deux triangle rectangle plus petit ..etc

[invite986312212]

il y a là:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
64 preuves du théorème de Pythagore. J'aime bien la preuve d'Euclide. Celle des deux découpages du grand carré permet de briller au cours d'un repas-raclette en découpant des tranches de formages

[invite79d10163]

Je ne vais pas donner d'avis sur le fond mais plutot sur la forme du document. Gaetan, malgré tes efforts certains, ton documents n'est pas rigoureux. Ta démonstration n'est pas "vraiment" mathématique car elle n'en respecte pas les regles. Essaie d'éviter les longues phrases qui nuisent à la bonne compréhension du document..;

Exemple :
"Or, la racine nième d’un entier est entière si et seulement si cet entier est un
produit de puissance m = kn avec k = 1,2,3,..."


Une formule serait la bienvenue



" On en conclut qu’il n’est pas possible de trouver un couple de paramètres p et q qui
puissent permettre d’obtenir un triplet de produits de puissance m ³ 2 (Xm,Ym,Zm) qui
soit les côtés d’un triangle rectangle et partant, le triplet vérifie l’équation de Fermat (1), avec a, b et c entiers strictement positifs, ne peut
jamais être un triplet d’entiers pour tout n>2. "


Cette phrase est splendide....
je la relie 10 fois et je n'y comprend toujours rien....
c'est quoi p et q dans ton document ?
il faut retravailler unpeu..

[leg]

c'est quoi p et q dans ton document ?
il faut retravailler unpeu..

Gaétan fait référence à la formule des triplets pythagoriciens
1)
p et q premiers entre eux de parité différente, entier non nul.
p²+q²= z
2pq= y , donc pair.
p² - q² = x

l'idée de Fermat et de Gaétan c'est de parametrer un triangle rectangle primitif!
donc où trouver ce couple de paramètre p et q ?

pour faire avancer le débat ,
a)
p²-q² =x² et 2pq = y² , impossible, tout le monde connait; mais ceci n'apporte aucune propriété..
b)
p² -q² = x² et p²+q² = z², toujours impossible et propriété interressante pour N pair >2 (mais tres peu connu)
c)
p²+q²= z² et 2pq =y² , toujours impossible et propriété interressante pour N pair >2 (mais tres peu connu)

des lors un triplet x², y² et z² est totalement impossible c'est à dire un triangle rectangle ne peut être paramétré avec p et q entiers!
et à l'évidence avec p' et q' réel! qui donnerait ce triplet d'entiers sans que p et q le donne, quelque soit la puissance N pair >2 qui vérifie pythagore et Fermat pour ces puissances paires
ce qui serait contraire à toute démonstration du cas n= 4 mais aussi du cas n=3 et à la relation de pythagore qui ne voudrait plus rien dire..etc etc pourrait on conclure ativement ..
mais un évidence est vrai, la formule des triplets pythagoriciens qui donne toutes les solutions entières serait fausse si p' et q' donne un triplet d'entiers, par exemple dans N = 1 qui ne serait pas donné par p et q tel que défini ci dessus.
Gaétan montrera mieux que moi, le cas de l'affirmation b) et c) et les propriété qui en découle!

[invite4793db90]

il y a là:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
64 preuves du théorème de Pythagore.

Excellent !

Merci !

[leg]

bonjours tout le monde , j'espère que Gaétan est toujours par là.

pour revenir sur son pdf,

à l'équation 4 qui correspond:
(X^m)² + (Y^m)² = (Z^m)² (5) est vrai!
car cela veut dire:
qu'elle existe déjà pour m = 1, X² +Y² = Z² donc dans les solutions de N=2 , c'est a dire toutes les solutions de
(a^n)²+(b^n)² = (z^n)² pour n premier en commençant par n = 2,3,5...n premier!

or ce triangle rectangle est paramétré par la formule des triplets pythagoricien avec p et q

ce qui est donc dit ensuite,
il faut que: a = (X^m) , b = (Y^m) et c = (Z^m) pour vérifier N > 2 soit l'égalité (5) =
X^m)² +(Y^m)² =(Z^m)²

or en changeant d'exposant pour m >1 on vérifie toujours la même chose N = 2 ! donc les triplets sont les mêmes ! et ce triplet ne peut être différent du triplet
a = (X^m) , b = (Y^m) et c = (Z^m) qui vérifie déjà N = 2;
que se soit pour N =6 , 10 ..etc le triplet existerait déjà dans N=2, donc le couple de paramètres p et q entier, serait le même ainsi que le triangle rectangle primitif !

exemple d'une autre façon:

Nous obtenons :
p² + q² = z² (3)
p² - q² = x² (4)
2pq = y² (5)

L’égalité (3) est une équation de Pythagore qui admet pour solution primitive le triplet (p,q,Z) paramétrés de manière unique par le couple p1 et q1 tels que :

(p1)²+(q1)²= Z
(p1)²-(q1)²=p (6)
2(p1)(q1)=q



L’égalité (4) est également une équation de Pythagore qui admet pour solution primitive le triplet d’entiers (X,q,p) paramétrés de manière unique par le couple p2 et q2 tels que :
(p2)²+(q2)²=p
(p2)²-(q2)²=X (7)
2(p2)(q2)=q

Or, 2(p1)(q1)=q et 2(p2)(q2)=q alors, p1=p2=p’ et q1=q2=q’ et nous obtenons :

deux triplets (p,q,Z) et (X,q,p) donnés par un même couple de paramètres p’ et q’: c’est impossible !

l’égalité absurde X=Z à laquelle on arrive après avoir remplacé dans les deux systèmes (6) et (7) p1 et p2 par p’ puis q1 et q2 par q’.

Donc, les égalités (3) et (4) ne peuvent pas être vraies simultanément c’est-à-dire, si p²+q² est un carré, p²-q² ne peut pas l’être. Et en généralisant, nous tirons la propriété suivante :

Propriété : si a et b sont deux entiers de parité distincte, alors les composés a²+b² et a²-b² ne peuvent pas tous deux donner des carrés.

ainsi si Z = sqrt p² + q² est une racine carrée entière , c'est à dire un entier naturel,
alors X = sqrt p² - q² ne peut être un entier ! A la rigueur un réel algébrique..

et on peut remplacer l'exposant ² par n'importe quel exposant premier, on aurra toujours la même contradiction deux solutions par addition et soustraction

il devient évident que p' et q' réel ne peut donner une tel solution sans changer de valeur et si on supposait le contraire il est clair que le théorème de Fermat pour N = 4 , N =3 est faux et plus généralement il serait faux pour tout n !

(" En faisant aussi abstraction de l'égalité suivante un triplet de produit de puissance N >=1 donné par p' et q' réel, donnerait forcément, par exemple avec n=3
x³, y³et z³

donc (x^3)² = ((z^3) +(y^3)) ((z^3) - (y^3))
z et y premier entre eux
alors ((z^3) +(y^3)) = u^3
et ((z^3) - (y^3)) =v^3
à nouveau deux solutions par addition et soustraction de mieux en mieux aurait dit Fermat me voila maintenant avec 4 solutions et un même couple p et q où z = x égalité absurde, tout comme l'est l'égalité absurde si y² et z² existe dans un triplet, car x = d c'est a dire p²-q² = x = p - q = d. car z - y = (p-q)² = d² différence entre z et y dans un triplet primitif..etc ")


Fermat a donc pu démontrer de façon générale le cas N pair !

vous direz a juste raison et N premier ?

il démontre le cas N= 3 sa démo est générale car pas de triplet primitif dans N = 1,2 ,3 avec p' et q' réel
il ne peut y en avoir dans les racines carrées algébrique de N = 3 il ne peut donc en exister nul part;
ou le cas N = 3 est faux ...ce qui implique le théorème de Fermat!
sans oublier la démo de L.Euler.

voila pourquoi deux réels p' et q' ne pouvait parametrer un triangle rectangle primitif de produits de puissance et plus généralement un triangle rectangle de racines algébriques vérifiant l'équation de Fermat et la relation de Pythagore.
sauf érreur de raisonnement bien sur.

[invite986312212]

Fermat a donc pu démontrer de façon générale le cas N pair !

oui, ce serait même la seule proposition de théorie des nombres dont on connaît une démonstration de la main de Fermat (dans une lettre à Mersenne ou quelque-chose comme ça).

[leg]

oui, ce serait même la seule proposition de théorie des nombres dont on connaît une démonstration de la main de Fermat (dans une lettre à Mersenne ou quelque-chose comme ça).

je n'ai jamais eu l'occasion de vérifier si effectivement il y avait une preuve pour le cas n pair de façon générale écrite par fermat.
mais ce qu'il me parait plus que possible il avait largement les moyens de le faire avec les ouitls mathématique de l'époque .
ce qui est encore plus surprenant, c'est que personne ne semble s'y être interressé. car rien que de résoudre le cas n pair, résoud aussi de façon partielle le cas N premier avec x,y et z produit de puissance N premier;

de plus Fermat pouvait facilement montrer que si il existait un couple de paramètre p et q ,celui ci serait obligatoirement choisis dans les racines carrées des entiers à la puissances première! et ce ne pouvait donc être deux simples réels, non algébriques.

[invite986312212]

Fermat a montré que l'équation x^2+y^2=z^4 n'a pas de solutions en entiers (non nuls), ce qui implique la même chose de l'équation x^4+y^4=z^4 et plus généralement de l'équation x^2n+y^2N=z^2n, n>1.

[invite79d10163]

De toute façon, je crois que l'on peut trouver entre 1000 et 2000 fausses preuves du théoreme de fermat qui ont été publiés et remarquez bien le détail "PUBLIE". Alors une de plus ou de moins, ça ne change finalement pas grand chose. De plus celle-ci ne nous apprend vraiment rien de plus que l'on ne sais dèjà.

[invite4793db90]

Salut,

car rien que de résoudre le cas n pair, résoud aussi de façon partielle le cas N premier

De façon très partielle alors ! 2 est le seul nombre pair premier.

Cordialement.

PS : Et le premier qui répond que c'est 50% des cas sera condamné à écouter en boucle Iglesias pendant un an (s'il survit).

[leg]

Salut,

De façon très partielle alors ! 2 est le seul nombre pair premier.

Cordialement.

voyons martini
tu sais trés bien que tout triplet de produit de puissance n>2 vérifie (xⁿ)² + (yⁿ)² = (zⁿ)²
mais aussi (x²)ⁿ+ (y²)ⁿ= (z²)ⁿpour n premier > 2 et non pas uniquement 2

skidancer:
si tu penses que ce qui est dit est faux, alors tu en conclu qu'il existe un triplet de racines carrées algébriques vérifiant n > 2 et premier!
donné par p' et q' réel,
alors j'en déduit que le théorème de Fermat est faux .
car le fond du problème se situe justement là!
si on n'avait pu démontré le cas N = 3 alors d'accord avec toi.
mais justement un triplet de réel algébrique ne peut être donné avec p' et q' réel dans n = 3 sinon le cas de Euler est faux , des lors ce qui est vrai : pour N, N+1 N+2 et pour les racines carrées algébriques de N= 3, est vrai de façon générale .
sauf si il s'agit d'une érreur de raisonnement bien sur.

a)
pour obtenir trois racines algébriques de N = 3 , 5 ,7 ..n premier quel est la nature de p' et q' ?
b)
si il existe des triplets dans les racines algébriques il est clair que je ne peux que choisir p' et q' dans ces racines, déjà pour reconstituer une solution supposée exister, et en mettant le triplet au carré!
c)
or c'est impossible !
car en mettant p' et q' au carré j'obtient immédiatementla contradiction du cas N=4,
deux solutions par addition et soustraction! et ce quelque soit N prmier > 2 !
ce qui pouvait être l'idée de Fermat rien de plus....

mais skidancer, si ce qui est dit plus haut était déjà connu donc vrai , OU ?
("hors sujet:
et deuxiéme affirmation, qui ne vient pas de moi, pourquoi la plupart des mathématiciens pensent qu'il est justement impossible de démontrer le cas N pair > 2 sans démontrer au par avant le cas N premier !
peut être qu'effectivement c'était sans interêt..maintenant que c'est faisable..
mais on risque d'avoir du mal à penser, que fermat ne pouvait pas avoir la solution de son théorème .")

donc la balle est dans le camp... est ce que p' et q' réel peuvent former un triplet primitif de produits de puissance N >=1
ou un triplet de racines carrées de ces produits de puissance N première > 2 ?
et qui ne pourraient pas être choisis dans ces racines carrées ? afin d'éviter(la contradiction du cas N=4):

p'² = aⁿ et p'²=bⁿ tel que :

aⁿ + bⁿ= (zⁿ)
et
aⁿ - bⁿ= (xⁿ)

et bien sur 2p'q' = sqrt yⁿ
la contradiction du cas N=4 qui est générale!

mais sous réserve,peut être pas suffisante...
A+ dans l'attente que Gaétan se manifeste.

[invite986312212]

oops, j'ai écrit une ânerie hier (personne ne m'a repris, vous suivez pas ). Le fait que l'équation de Fermat pour n=4 n'ait pas de solutions implique la même chose pour n multiple de 4, pas n pair. Donc si Gaétan a un résultat pour n pair (je n'ai pas le courage d'étudier sa démonstration), ce n'est pas si mal.

[invite5fb20d44]

Au secours ! Que se passe-t-il ? Suis-je devenu stupide du jour au lendemain ? Est-ce que les mathématiques ont changé de nature pendant la nuit ? Est-il maintenant considéré "normal" d'écrire un texte obscur, en espérant que le lecteur fasse tout le travail pour lui redonner la cohérence qu'on n'a pas réussi à y mettre ?

leg : tu nous écris deux articles, chacun aussi long que le pdf original ! Et, désolé de te le dire, dans le même style ! Pas de définition des notations, pas de structure, des phrases floues. Exemples :

tu sais trés bien que tout triplet de produit de puissance n>2 vérifie (xⁿ)² + (yⁿ)² = (zⁿ)²")

Un "triplet de produits de puissance n" ? Qu'est-ce que c'est ? Et leurs puissances nièmes vérifieraient toujours l'équation de Pythagore ?

skydancer:
si tu penses que ce qui est dit est faux, alors tu en conclu qu'il existe un triplet de racines carrées algébriques vérifiant n > 2 et premier!

Je réponds pour skydancer : pas du tout ! Ce qui est dit, ce n'est pas qu'un résultat, qu'on a d'ailleurs bien du mal à trouver dans ce document, c'est une démonstration, un texte qui se veut mathématique. Alors je te dis que ce texte est faux, et que je n'en déduis rien du tout.

Et qu'est-ce que ça veut dire, "un triplet de racines carrées algébriques vérifiant n > 2 et premier" ? Un peu de précision, que diable !

Je me répète : tant que Gaétan n'aura pas fait l'effort de rafraîchir la structure de sa démarche (définitions, hypothèses, étapes, conclusions), ce fil est tout simplement néfaste.

[leg]

leg : tu nous écris deux articles, chacun aussi long que le pdf original ! Et, désolé de te le dire, dans le même style ! Pas de définition des notations, pas de structure, des phrases floues. Exemples :
salut zpz
les contradictions cité plus haut sont suffisament claires il me semble.

Un "triplet de produits de puissance n" ? Qu'est-ce que c'est ? Et leurs puissances nièmes vérifieraient toujours l'équation de Pythagore ?

oui! et cela a d'ailleur été bien défini(par zinia); dans le fils précedent qui a été fermé.
mais, je pense qu'il n'est pas difficile de comprendre qu'un triangle rectangle mesuré par trois produits de puissance n > 2 et premier , où les segments mis au carré, vérifient la relation de pythagore et aussi la relation de fermat , non..?


Je réponds pour skydancer : pas du tout ! Ce qui est dit, ce n'est pas qu'un résultat, qu'on a d'ailleurs bien du mal à trouver dans ce document, c'est une démonstration, un texte qui se veut mathématique. Alors je te dis que ce texte est faux, et que je n'en déduis rien du tout.

Et qu'est-ce que ça veut dire, "un triplet de racines carrées algébriques vérifiant n > 2 et premier" ? Un peu de précision, que diable !

("citation
voila pourquoi deux réels p' et q' ne pouvait parametrer un triangle rectangle primitif de produits de puissance et plus généralement un triangle rectangle de racines algébriques vérifiant l'équation de Fermat et la relation de Pythagore.")

qu'est ce que c'est que tu ne comprends pas ci dessus?

si je prend les racines carrées de trois cubes non carrés j'ai bien un triplets de racines carrées algébriques de N=3
par exemple sqrt de 8, ou de 27, ou de 125...etc ce ne sont pas des réel algébriques ..? peut être que je n'utilise pas le bon terme, mais c'est quand même facile à comprendre avec un peu de bonne volonté.

Je me répète : tant que Gaétan n'aura pas fait l'effort de rafraîchir la structure de sa démarche (définitions, hypothèses, étapes, conclusions), ce fil est tout simplement néfaste.

il n'est pas néfaste loin s'en faut, il faut de l'éclaircissement...

ambrosio
je ne t'ai pas repris, car il était évident qu'il y avait confusion.
car Fermat a montrer:
(x²)² + (y²)² = z² n'a pas de solution et a plus forte raison avec z⁴, qui serait aussi solution dans N = 2, si le triplet x², y² et z avait existé!
mais effectivement, ce n'est pas pour autant qu'une solution existant dans N = 2 est vrai qu'elle est aussi vrai dans N = 6 par exemple, ce que Gaétant doit rédigé dans son pdf;
en se servant de la contradiction du cas N = 4 , c'est à dire deux solutions directs pour former un triplet pytagoricien, par addition et soustraction

tel que je l'ai indiqué (3) (4) (5) (6) (7) ci dessus

("exemple d'une autre façon:

Nous obtenons :
p² + q² = z² (3)
p² - q² = x² (4)
2pq = y² (5)..etc")

car cette contradiction est générale pour N > 2 et pair!

pour espérer avoir un triangle rectangle mesuré par trois cubes , il faut bien choisir p et q dans les cubes c'est a dire dans les racines carrées des entiers à la puissance N=6.
comme on la fait pour N=2 , en choisissant p et q dans leur racines carrées , c'est à dire dans N=1... etc etc ,

on choisi p et q dans N=5 pour avoir un triplet qui mis au carré, donne la solution dans N=10 mais aussi dans N=2..

si tu ne choisis pas p et q dans les racines carrées de N = 6, 10..N pair;
afin d'éviter la contradiction du cas N=4 deux solutions par addition et soustraction avec p et q;
tu te retrouves avec deux autres contradictions, d'abord tu ne peux pas obtenir y^3, ou y^5 .. y^n premier..etc
mais tu n'évites pas pour autant (x^3)² = (z^3 + y^3)(z^3 - y^3) ou avec l'exposant 5, et de façon plus générale avec l'exposant N premier; deux nouvelles solutions par addition et soustraction .
Comme (pour cet exemple avec N=3) z^3 et y^3 sont premiers entre eux, il me donnent u^3 et v^3 par addition et soustraction,
mais ce n'est pas tout, étant donné que (x^3)² est un carré parfait, mais aussi un cube, l'équation doit vérifier aussi
(x²)^3.
ce qui veut dire que u^3 est un carré parfait donc :
(u²)^3 ainsi que (v²)^3
tel que : (u²)^3 * (v²)^3 = (x²)^3 ou (x^3)²...
c'est pour cette raison que dans un triplet primitif, il ne peut y avoir qu'un produit de puissance N >=2! et donc aucune solution de façon générale dans N pair >2;

et sans oublier la 3ème démo du cas N=4 : z² et y² ne peuvent exister dans un triplet pythagoricien pour la raison ci dessus d'abord; mais aussi pour l'autre raison que j'ai indiqué plus haut!
voila un peu plus d'explication que Gaétan pourra rédiger mieux que moi, si il le fallait

[invite79d10163]

Je ne pense pas qu'un forum soit l'endroit adequat pour faire part au monde de textes scientifiques unpeu fumeux.
Si Geatan est bel et bien un chercheur ou un scientifique comme il l'a laissé croire dans son premier pdf (ou apparaissait la mention PhD) il ferait mieux de poster ses textes dans un journal scientifique, ce n'est pas ça qui manque de nos jours. Il y en a au moins autant que les fausses démonstrations du théoreme de fermat...

[invite54cf07b0]

Toute cette discussion a un gros goût de déjà vu. Je crois me souvenir que la dernière fois, ça avait dégénéré, j'espère que ce ne sera pas à nouveau le cas.

rvz salut !

Je pense que si la dernière fois la discussion avait dégénérée, c’est par ce que la modération n’avait pas su canaliser le débat.

Un modérateur, dans un débat, est celui là qui doit être au dessus de la mêlée pour, de temps en temps, recadrer le sujet, sans parti pris, de manière objective.

Bien plus, un sujet déborde ce n’est pas par ce qu’il tire en longueur (il y’a bien des sujets dans ce site ouverts depuis 2 à 3 ans qui continuent à être discutés jusqu’à maintenant).

Il y’a débordement dans un débat lorsque certains intervenants à court d’arguments usent des propos discourtois (qui frisent l’injure) à l’endroit des autres qui soutiennent un point de vue contraire au leur. C’est à ce niveau, précisément, que doit intervenir la modération (avec ses écrits en vert) non pas pour fermer un sujet qui passionne mais plutôt pour ramener à l’ordre les fauteurs de trouble.
Cordialement !

POST-SRIPTUM : « Je sais que cela doit être vrai, pourquoi devrais-je le démontrer ? » (Henri Poincaré).

[invite54cf07b0]

Au fait, je me demande quelles sont les preuves que vous connaissez du théorème de Pythagore ?
La seule preuve que je connaisse est celle où on met 4 copies de notre triangle rectangle côte à côte, ou plutot tête bêche, hypothénuse vers l'extérieure, ce qui constitue un carré d'aire c^2. Une autre manière de calculer l'aire est de le faire triangle par triangle puis le carré du milieu : Ca donne 4 (a b /2) +(b-a)^2 = a^2 + b^2.

rvz, les preuves ne manquent pas, tiens voici une autre dans ce pdf!

[invite79d10163]

Gaetan, j'en profites maintenant que tu sembles présent.

Je me suis arreté à la moitié de ton premier document :

Tu veux montrer que :
Un triplet de pythagore (a,b,c) élevé à la puissance (n/2) pour n>2 n'est pas un triplet d'entier.

Est-ce bien ça ?

Est-ce le théoreme de Fermat ?

[invite54cf07b0]

(Je me souviens d'ailleurs que Gaetan affirmait qu'il n'existait pas de solution (ni entière ni réélle) à l'équation x +y = z... )

rvz, regardes

Si a, b et c vérifie l'équation a²+b²=c², alors a, b et c sont trois segments reliés en triangle rectangle. Je dis que érire à la suite de cela a+b=c n'a pas de sens géométriquement parlant. Autrement dit, si (a,b,c) est un triangle, alors (a,b,c=a+b) ne peut plus l'être.
Tu me saisie?

Maintenant poses-toi la question de savoir si le triplet(a,b,c) constitue un triangle rectangle, que va alors constituer le triplet (a²,b²,c²)?

Moi je dis que (a²,b²,c²) constitue trois segments de droite disposés de la manière suivante: a² et b² sont mis bout à bout sur un même axe (l'angle entre a² et b² est égal à 180°) et c² qui est leur somme se superpose sur eux (si vous voulez, triangle "plat").

C'est dans ce contexte là uniquement que j'affirmais ce que tu as rappelé concernant x+y=z qui pour moi représente l'équation de Fermat pour n=1.

Evidemment quand on sort de ce contexte, ça devient autre chose.

Bien plus ayant constaté cela je me suis demandé si n>2, quelle figure aura-t-on?
Eh bien! j'ai trouvé que nous aurons des triangles scalènes et
quand 1<n<2, on des triangles obtus.

C'est ce fruit là qui va au delà du GTF que je veux partager.
Cordialement!

[invite54cf07b0]

Gaetan, j'en profites maintenant que tu sembles présent.
Je me suis arreté à la moitié de ton premier document :
Tu veux montrer que :

Un triplet de pythagore (a,b,c) élevé à la puissance (n/2) pour n>2 n'est pas un triplet d'entier.

Est-ce bien ça ?

Est-ce le théoreme de Fermat ?

Salut sky!
Non je ne dis pas cela, mais je dis ceci:

Si (a,b,c) est un triplet de Pythagore, alors pour que le triplet (x=a^2/n,y=b^2/n,z=c^2/n) est un triplet de Fermat dans la mesure où il vérifie l'égalité de Fermat xn+yn=zn.

Mais Affirme qu'on ne peut pas trouver de triplets (x,y,z)d'entiers (c-à-d, x, y et sont tous des entiers au même moment) qui puissent être solution de son égalité.

Maintenant analyse:

tu as: x=a^2/n ( a ici est un entier c'est ce cas seulement qui est interessant)
si n=1, x=a2 - c'est un entier
si n=2, x=a - c'est un entier

si n=3 x=a^2/3 - est ce que c'est un entier?
Oui,seulement quand l'entier a est de la forme a=X.X.X=X³

Je m'arrête pour être sûr que tu me suis.
J'attend ta réaction.
Sky, un forum c'est un lieu de partage des idées et si des affinités se créent au niveau des idées ça peut donner naissance à des collaborations fructueuses sur le plan de la recherche. Refléchis-y et essaie d'être receptif.
Amicalement!