Généralisation de la notion de fonction ...

[invite0f31cf4c]

Bonsoir ,
Alors voilà ... J'ai posé une question sur les équations différentielles à mon prof de maths tout à l'heure et on a dérivé (Ha ha ! En parlant d'équation différentielles ... Bon, ok, je sors ...) sur la généralisation de la notion de fonction.
Je peux pas en dire plus et c'est pour ça que je pose la question sur le forum ! De quoi est-ce qu'il parlait ? Il a dit que Schwarz, en 1945 avait proposé une généralisation de la notion d'application par le biai d'une histoire de distribution à laquelle j'ai rien compris ...
Donc voilà, je ne peux pas en dire plus ... Alors si quelqu'un voit de quoi je veux parler, est-ce qu'il pourrait m'envoyer un lien ou - mieux - m'expliquer de quoi il en retourne ... Merci !
++ !
L.S.
P.S. : Je ne suis "qu'en" Spé, donc faudra pas utiliser des termes trop compliqués ... Merci !
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[invite6b1e2c2e]

Effectivement !
C'est une théorie fructueuse pour rendre la physique rigoureuse. Notamment, cela permet d'intégrer dans un cadre mathématique le fameux pic de Dirac, et même de le dériver ! La meilleure référence est sans doute ce livre de Schwartz dont t'as parlé ton prof. Théorie des distributions. Très clair.

En deux mots, une distribution est une forme linéaire continue (Attention aux topologies employées) définie sur les fonctions de classe C infini à support compact. Puis on injecte les fonctions classiques ainsi : Soit f une fonction. Alors on lui associe la distribution qui à une fonction g régulière associe l'intégrale de fg. (C'est bien injectif !). Ainsi on a étendu les fonctions. Notamment au dirac. Ensuite, si tu veux, tu peux généraliser les formules d'intégration par partie, pour faire quelque chose de cohérent.
Ainsi, si je pose l=dirac, l(g)=g(0)
l' est une distribution, et l'(g) = -l(g')=-g'(0), ce qui généralise la formule (sans terme de bord puisqu'on travaille sur des fonctions à support compact).

Si tu as d'autres questions, n'hésite pas.

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rvz

[GrisBleu]

Salut

Pour complete rvz, les distributions sont definies comme des formes lineaires sur des espaces de fonctions. Ce ne sont donc pas des fonctions usuelles qui partent de (par exemple) pour aller dans . Mais comme le dit rvz, a beaucoup de fonction "normales" tu peux associer une distribution. Hors les distributions ont des proprietes magiques (toujours derivables par exemple)

Par exemple, soit est l espace des fonctions infiniment derivable et qui sont negligeables a l infini devant tout polynome. Par exemple
est dans .
Considere les fonctions d energie finie . A toute fonction de tu associe la distribution

Vu les proprietes de S, cette integrale existe toujours. est lineaire sur S est va dans R, c est donc une forme lineaire sur S. L ensembles des formes lineaires sur S (son dual) est note S'. Or tu as vu qu a toute fonction de tu peux aasocier (injectivement comme le souligne rvz) une distribution. Par abus de langae, on dit donc que
. Donc les distributions "generalisent" les fonctions

APres, tu peux definir plein de choses sur les distributions. Sur , tu peux TOUJOURS
- definir l addition
- definir la multiplication par un reel
- definir la derivee par
. Si tu ecris une integration par partie pour te convaincre
- definir la transformee de fourier

Les distributions te permettent de faire des calculs que tu n avais pas le droit de faire avant

est une distribution qui ne vient pas d une fonction, S' est donc plus grand que L^2, faut garder ca a l esprit tout de meme.

[invite6b1e2c2e]

La, tu parles des fonctions de S', le dual de la classe de Schwartz, mais qui est plus gros encore que l'espace des distributions, puisqu'un élément de S' agit sur les fonctions C infini à support compact de manière continue.
Cela dit, ce S' n'a de sens que sur R (ou R^n), alors que les espaces D' sont définis sur tous les ouverts.
Une précision encore : On ne peut pas multiplier deux distributions (ou deux éléments de S'). En effet, dirac*dirac n'a pas de sens !!!!
Puis une dernière remarque (cette fois c'est vraiment la dernière) : On peut effectivement toujours dériver des distributions, et la dérivation est même une application linéaire continue sur les distributions. (Là encore, attention aux topologies, l'espace des distributions est un espace vectoriel topologique localement convexe, et c'est tout : Notamment, il n'est même pas métrique !!!)

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rvz, qui finit de préciser

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52c52005]

Bonjour,

pour quel(s) besoin(s) ont été créées les distributions? De quelles difficultés avec les fonctions classiques, permettent-elles de s'affranchir ? Quels sont les apports et les applications de la théorie des distributions (en mathématiques et en dehors)?

Merci pour vos réponses.

[invitec314d025]

On utilise beaucoup les distributions en physique, notamment en traitement du signal.

[invite0f31cf4c]

Ha ! Bah je crois que je peux répondre à ça ... En fait la particularité de ces fonctions est qu'elles sont dérivables autant de fois que l'on veut, intégrables, développables en séries entière ou de fourier et donc on peut s'en servir pour résoudre pas mal de chose (faut pas trop m'en demander non plus ...). Y a surement plein d'autres applications ...
++ !
L.S.

[invite6b1e2c2e]

Tu t'avances peut-être un peu :

Elles ne sont pas forcément intégrables. Si j'appelle d le dirac en 0, et je regarde les distributions sur (0,1).
Alors f = \sum_n d(.-1/n) est une distibution, dont la primitve me semble mystérieuse ?

Elles ne sont pas forcément développable en séries entières : Sinon elles seraient toutes analytiques !!! En plus, je rappelle qu'il existe des fonctions continues, et même de classe C infini qui ne sont pas égales à leur développement en séries entières.
cf g(x) =0 si x<0
= exp(-1/x^2) si x>0.

Par contre, elles sont effectivement toutes d&#233;veloppables en s&#233;rie de Fourier, mais c'est de la th&#233;orie spectrale assez &#233;labor&#233;e, qui consiste &#224; dire que l'on peut regarder comment d&#233;croit la transform&#233;e de Fourier (Application de Parseval).

Du coup, c'est tr&#232;s utile d&#232;s qu'on veut r&#233;soudre des &#233;quations au d&#233;riv&#233;es partielles, notamment celles qui viennent de la physique. Par exemple, quand tu fais des calculs d'interf&#233;rences lumineuses, tu manipules plein de Dirac, qui sont en fait des conditions initiales d'une certaine &#233;quation. Ca permet de donner un cadre fonctionnel &#224; ces formules.

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rvz

[invite52c52005]

Merci pour vos infos.

Toute info supplémentaire sera, bien entendu, bienvenue.

[invite0f31cf4c]

Je comprends à peu près l'idée ...
En fait, on a développé cette théorie à cause de la fonction de Dirac. Je rappelle ce que c'est (parce qu'en fait je confondais avec celle de Heavside) : c'est une application nulle sur l'ensemble des réels sauf en 0, et son intégrale vaut 1. Si j'ai bien compris, une telle fonction ne peut pas exister normalement puisque la valeur de l'intégrale de change pas si on modifie un nombre fini de points et donc, là, l'intégrale devrait être nulle.
Donc, on prend n'importe quelle fonction f intégrable et une fonction g que l'on peut dériver une infinité de fois. Et on intégre le produit de ces deux fonctions en définissant des bornes d'intégration.
Sauf que je ne comprends pas cette fonction g ... Comment la choisi-t-on ? Peut-être que vous l'avez déjà expliqué, mais alors j'ai pas tout compris en fait ...
Et j'ai une petite question auxiliaire ... Est-ce qu'il y a moyen de représenter une distribution sur un graph ou autre ?
Voilà ... Donc si vous pouviez encore m'éclairer, merci d'avance. Et désolé, je comprends vite, mais faut m'expliquer longtemps ...
++ !
L.S.

[invite0f31cf4c]

J'ai trouv&#233; quelque chose qui pourra peut-&#234;tre aider &#224; mieux comprendre ici. Je n'ai pas tout lu (loin de l&#224; ), mais l'introduction m'a d&#233;j&#224; fait comprendre pourquoi on a du inventer un tel concept.

[inviteab2b41c6]

J'ai des notes de cours sur la th&#233;orie des distributions (C'est assez court cel&#224; &#233;tant).
Je pourrais peut &#234;tre les mettre en ligne, mais je voudrais d'abord demander l'autorisation de l'auteur.
A+

[GrisBleu]

- L utilite des distribution de S' c est qu on peut definir la transformee de fourier, c est pratique pour faire du signal
par exemple, en prepa, on apprend en sup a passer d une equation differentielle a une equation entre polynome "en passant en complexe". Ca revient a passer en fourier. mais des fonctions derivables autant que voulu, c est pas choses courantes, alors que les distributions ca l est tout le temps.
- la raison de l introduction des distribution est de mettre des bases solides a des calculs que faisait deja les physiciens sans trop de justification. avait ete introduit (en phyQ ??) avant Scwartz par exemple.

Je joins un doc trouve sur le net qui explique pas mal. C est abordable des la spe (je dis pas que c est simple)