Bonjour,
Je voulais savoir s'il était "autorisé" de généraliser la formule de Brahmagupta à un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés ?
Je rappelle la formule :
Soit un quadrilatère convexe inscriptible avec a,b, c et d les longueur de ses côtés alors on a son aire qui équivaut à :
avec
Et donc je demande si on a le droit d'exprimer l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés comme suit :
Merci d'avance.
Bonjour,
je ne sais pas...je ne connaissais pas cette formule ! Je l'ai trouvée par la suite sur internet mais sans démonstration.
Par contre, en ce qui concerne la généralisation, il vaut mieux parler de polygones à n côtés...
Oui pardon... voir même n-gone
Pour la démonstration (schéma en pièce jointe) :
Oui pardon
Pour la démonstration (schéma en pièce jointe) :
On pose x = ^ABC, y = ^CDA et f = AC.
Comme le quadrilatère ABCD est convexe, son saire s' écrit :
S = A(ABCD) = 1/2(ab*sin x + cd*sin y)
ce qui donne,
16S² = 4a²b²*sin²x + 4c²d²*sin²y + 8abcd * sin x * sin y (1)
D'un autre côté, a² + b² - 2ab * cos x = f² = c² + d² - 2cd * cos y, ce qui donne :
(a² + b² - c² - d²)² = 4a²b²*cos²x + 4c²d²*cos²y - 8abcd * cos x * cos y (2)
En additionnant (1) et (2) on obtient :
16S² + (a² + b² - c² - d²)² = 4a²b² + 4c²d² - 8abcd * cos (x + y) (3)
Si alors ABCD est inscriptible, cos (x + y) = - 1, ce qui conduit à :
16S² = 4(ab + cd)² - (a² + b² - c² - d²)² = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d), ce qui conclut.
Remarque : la formule (3) est valable pour un quadrilatère convexe quelconque
Ce qui m'embête, c'est que ta formule n'est pas homogène si n>4Envoyé par Guillaume.B
Bonjour,
Je voulais savoir s'il était "autorisé" de généraliser la formule de Brahmagupta à un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés ?
Je rappelle la formule :
Soit un quadrilatère convexe inscriptible avec a,b, c et d les longueur de ses côtés alors on a son aire qui équivaut à :
avec
Et donc je demande si on a le droit d'exprimer l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés comme suit :
Merci d'avance.
"homogène", c'est-à dire ?
Homogène au sens des physiciens : si tu exprimes les longueurs en mètres, il serait bon que A s'exprime en mètres carrés, ce qui n'est pas le cas dès que n n'est pas égal à 4.
Je ne suis pas mathématicien mais en réfléchissant j'ai trouvé une "formule"
qui semble généraliser les formules de Héron et de Brahmagupta.
Je joins un document Word et une feuille de calcul Excel.
Il apparait malheureusement que les résultats sont faux :
- les polygones réguliers obtiennent les plus mauvais scores !
- Les différences vont d'environ 1 % (pentagones) à près de 6 % (énnéagone régulier).
- les aires calculées sur Excel par la méthode de décomposition en triangles (2e et 4e cas de résolution)
ou, pour les polygones réguliers, par la formule "p.sin(pi/n)" sont bien sur bonnes.
Question : pourquoi ces écarts croissants ?
En tout cas il n'est pas possible d'exprimer l'aire d'un n-gone en fonction de ses cotés, car un n-gone n'est pas uniquement déterminé par la longueur de ces cotés contrairement au triangle (prendre un carré et un losange). Maintenant on peut se demander quels informations minimales sont nécessaires pour pouvoir déterminer un n-gone, et après on peut espérer chercher une formule.
oups, j'avais pas vu que la question initiale datait de 2 ans....
