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Généralisation de la formule de Brahmagupta ??



  1. #1
    Guillaume.B

    Généralisation de la formule de Brahmagupta ??


    ------

    Bonjour,

    Je voulais savoir s'il était "autorisé" de généraliser la formule de Brahmagupta à un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés ?

    Je rappelle la formule :

    Soit un quadrilatère convexe inscriptible avec a,b, c et d les longueur de ses côtés alors on a son aire qui équivaut à :



    avec


    Et donc je demande si on a le droit d'exprimer l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés comme suit :



    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    tize

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    Bonjour,
    je ne sais pas...je ne connaissais pas cette formule ! Je l'ai trouvée par la suite sur internet mais sans démonstration.
    Par contre, en ce qui concerne la généralisation, il vaut mieux parler de polygones à n côtés...
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  4. #3
    Guillaume.B

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    Oui pardon ... voir même n-gone

    Pour la démonstration (schéma en pièce jointe) :

  5. #4
    Guillaume.B

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    Oui pardon ... voir même n-gone

    Pour la démonstration (schéma en pièce jointe) :

    On pose x = ^ABC, y = ^CDA et f = AC.

    Comme le quadrilatère ABCD est convexe, son saire s' écrit :

    S = A(ABCD) = 1/2(ab*sin x + cd*sin y)

    ce qui donne,

    16S² = 4a²b²*sin²x + 4c²d²*sin²y + 8abcd * sin x * sin y (1)

    D'un autre côté, a² + b² - 2ab * cos x = f² = c² + d² - 2cd * cos y, ce qui donne :

    (a² + b² - c² - d²)² = 4a²b²*cos²x + 4c²d²*cos²y - 8abcd * cos x * cos y (2)

    En additionnant (1) et (2) on obtient :

    16S² + (a² + b² - c² - d²)² = 4a²b² + 4c²d² - 8abcd * cos (x + y) (3)

    Si alors ABCD est inscriptible, cos (x + y) = - 1, ce qui conduit à :

    16S² = 4(ab + cd)² - (a² + b² - c² - d²)² = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d), ce qui conclut.

    Remarque : la formule (3) est valable pour un quadrilatère convexe quelconque
    Images attachées Images attachées

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    Citation Envoyé par Guillaume.B Voir le message
    Bonjour,

    Je voulais savoir s'il était "autorisé" de généraliser la formule de Brahmagupta à un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés ?

    Je rappelle la formule :

    Soit un quadrilatère convexe inscriptible avec a,b, c et d les longueur de ses côtés alors on a son aire qui équivaut à :



    avec


    Et donc je demande si on a le droit d'exprimer l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible à n côtés comme suit :



    Merci d'avance.
    Ce qui m'embête, c'est que ta formule n'est pas homogène si n>4

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Guillaume.B

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    "homogène", c'est-à dire ?

  9. Publicité
  10. #7
    Jeanpaul

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    Homogène au sens des physiciens : si tu exprimes les longueurs en mètres, il serait bon que A s'exprime en mètres carrés, ce qui n'est pas le cas dès que n n'est pas égal à 4.

  11. #8
    Pierre VDM

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    Je ne suis pas mathématicien mais en réfléchissant j'ai trouvé une "formule"
    qui semble généraliser les formules de Héron et de Brahmagupta.

    Je joins un document Word et une feuille de calcul Excel.

    Il apparait malheureusement que les résultats sont faux :
    - les polygones réguliers obtiennent les plus mauvais scores !
    - Les différences vont d'environ 1 % (pentagones) à près de 6 % (énnéagone régulier).
    - les aires calculées sur Excel par la méthode de décomposition en triangles (2e et 4e cas de résolution)
    ou, pour les polygones réguliers, par la formule "p.sin(pi/n)" sont bien sur bonnes.

    Question : pourquoi ces écarts croissants ?

  12. #9
    Garnet

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    En tout cas il n'est pas possible d'exprimer l'aire d'un n-gone en fonction de ses cotés, car un n-gone n'est pas uniquement déterminé par la longueur de ces cotés contrairement au triangle (prendre un carré et un losange). Maintenant on peut se demander quels informations minimales sont nécessaires pour pouvoir déterminer un n-gone, et après on peut espérer chercher une formule.

  13. #10
    Garnet

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    oups, j'avais pas vu que la question initiale datait de 2 ans....

  14. #11
    Pierre VDM

    Re : Généralisation de la formule de Brahmagupta ??

    (Bis !) Evidemment, je n'avais pas vu que les DOC et XLS ne passaient pas. Alors voilà un PDF pour le DOC. Tant pis pour le XLS.
    Fichiers attachés Fichiers attachés

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