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généralisation du théorème de Jordan



  1. #1
    Amethyste

    généralisation du théorème de Jordan


    ------

    un monsieur Jordan a démontré que si je trace une figure fermée qui ne se recoupe pas, sur un plan, alors je le découpe en deux parties indépendantes

    je me demandais juste si ce théorème se généralise en d'autres dimension? Par exemple est-ce que toute figure en N dimensions partage un espace de dimension N en deux parties indépendantes?


    merci

    -----
    La pente: d'un côté elle monte, de l'autre elle descend

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  4. #2
    rvz

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    Salut aussi,

    Il est probable que ça se généralise effectivement. Cela dit, il est probable aussi que ce soit très difficile à montrer, vu que déjà en dimension 2 c'est assez costaud.

    __
    rvz, qui ne fait pas avancer le schmilblik

  5. #3
    homotopie

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    Bonjour,
    voici un lien pour un certain type de généralisation :wiki
    (prècision qui n'est pas faite dans le texte les sphères Sn sont des sphères creuses).
    Pour la dimension 1, il n'existe qu'une variété de dimension 1 fermée : le cercle. En dimension supérieure, on peut aussi se poser la question : est-ce qu'ne variété compact orientée de dimension n-1 plongée dans un espace vectorielle de dimension n (les dimensions étant des dimensions réelles), le théorème se généralise-t-il ?
    A ma connaissance : oui pour n=3.
    Je ne me prononce pas pour n=4 et plus, je ne serais pas surpris que ce soit une question ouverte.

  6. #4
    Amethyste

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    dans le lien que vous m'avez donné se trouve la réponse à ma question, cela s'appelle "Le théorème de Jordan-Brouwer"

    merci
    La pente: d'un côté elle monte, de l'autre elle descend

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    invite986312212
    Invité

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    cette question m'en suggère une autre:
    le groupe fondamental est toujours defini par l'homotopie des lacets, quelle que soit la dimension.
    Pourtant on pourrait considérer l'homotopie d'autres objets, par exemple des sphères.
    Est-ce qu'on peut définit un invariant de cette façon? Ca permettrait de distinguer un solide plein d'un solide avec une cavité interne: une sphère englobant la cavité ne serait pas contractible en un point.

    cela dit, je ne vois pas bien comment faire la somme de deux sphères, cet invariant ne serait peut-être pas un groupe ?

    cette question devrait interpeller un certain membre de ce forum

  9. #6
    rvz

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    Salut,

    Je crois que c'est l'objet d'une théorie géométrique dont je ne sais jamais le nom : Homologie, homotopie, cohomologie, cohomotopie, motologie, logologie ou cracologie ...

    Mais effectivement, je serai moi aussi curieux de savoir quelle structure on peut mettre sur cet ensemble.

    Homotopie ? Je crois qu'on a besoin de toi

    __
    rvz

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  11. #7
    homotopie

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    cette question m'en suggère une autre:
    le groupe fondamental est toujours defini par l'homotopie des lacets, quelle que soit la dimension.
    Pourtant on pourrait considérer l'homotopie d'autres objets, par exemple des sphères.
    Est-ce qu'on peut définit un invariant de cette façon? Ca permettrait de distinguer un solide plein d'un solide avec une cavité interne: une sphère englobant la cavité ne serait pas contractible en un point.

    cela dit, je ne vois pas bien comment faire la somme de deux sphères, cet invariant ne serait peut-être pas un groupe ?

    cette question devrait interpeller un certain membre de ce forum
    Salut,
    oui cela s'appelle les groupes d'homotopie. Cf. wiki pour une définition.
    Quelques compléments (les sections vides ne manquant pas) :
    déjà la propriété fondamentale : ces groupes sont des invariants homotopiques.
    Ceci généralise la notion de "trous" mais il faut faire attention, il faut rester en la plus petite dimension, (\pi_3(S_2)=Z par exemple, cf. ci-après)
    On peut voir la somme aussi ainsi :
    tout d'abord un point technique : on considère un chemin allant du pôle nord au pôle sud et on impose à l'application d'envoyer tous les points de ce chemin sur le point de base de X (on montre facilement que les classes d'homotopie définies par ce type d'application est en bijection avec les classes d'homotopie des applications pour lesquelles on n'impose d'être envoyé sur le point de base que pour un point, lui même en bijection dans les cas non pathologiques avec aucune condition sur les applications continues).
    Quand on pose cette condition on a alors une vision facile :
    on pince l'équateur de la sphère, on a deux sphères collées en un de leurs pôles, on envoie la partie haute par la 1ère application , la seconde par la deuxième (on vérifie facilement que cela correspond au produit classique des lacets si n=1).
    On a aussi si on note l'espace des lacets de X :

    On peut alors définir le produit comme celui d'un (partie de gauche), celui d'un mais aussi par le produit de lacets
    (partie de droite) ; les trois définissent le même produit. C'est cette propriété qui permet de montrer que les sont abéliens.

    théorème de Whitehead, d'abord les CW-comlexes
    les CW-complexes se construisent en collant des disques entre eux avec la condition que le bord d'un disque de dimension n est collé sur l'union des disques de dimension inférieure ; c'est en gros les espaces pour lesquels les techniques de la topologie algébrique sont adaptées : ils sont très nombreux : contiennent les variétés, si X est un CW compact et Y un CW alors l'espace des applications continues de X dans Y est homotope à un CW, (cas particulier important : X est une sphère), c'est une famille stable aussi pour de nombreuses autres constructions.
    Le théorème de Whitehead affirme que si X et Y sont deux CW complexes (ou sont homotopes à un CW) connexes et si f : X->Y est une application continue telle que f définisse un isomorphisme entre les groupes d'homotopie de degré n pour tout entier n alors f est une équivalence d'homotopie.
    (Attention, l'isomorphisme entre les groupes d'homotopie n'est pas suffisant, il faut que ces isos proviennent de la même application)

    Théorème de Hurewicz et autres liens entre groupe d'homotopie et groupes d'homologie :
    si X est un espace (n-1) connexe alors l'abélianisé de (ce groupe lui-même dès que n>1) est isomorphe à le n-ème groupe d'homologie à coefficients dans Z.
    En fait les liens sont encore plus profonds, un exemple qui illustre bien cela :
    Une sphère a une homologie et une cohomologie à coefficients entiers très simple tout est réduit à H_0 et H_n.
    En dimension impaire le produit de deux générateurs de degré n est naturellement nulle mais ce n'est plus le cas en dimension paire si x est un générateur les règles du produit n'impose pas que x² soit nul. Il faut donc quelque chose pour "tuer" x² en cohomologie qui est degré 2n donc une forme de degré 2n-1 qui "tue" x². Si cette forme "tue" non trivialement quelque chose, c'est qu'elle n'est pas homotopiquement trivial. Ainsi le groupe d'homotopie de degré 2n-1 d'une sphère est isomorphe à Z, son générateur est une forme en cohomologie qui "tue" x², le carré du générateur de H^n. Cela illustre aussi pourquoi cet isomorphisme ne peut être vrai à tous les degrés (hormi le cercle).
    La partie libre des groupes d'homotopie des sphères est connue : n impaire seul le groupe de degré n est non trivial et est isomorphe à Z, n paire seuls n et 2n-1 sont non triviaux et sont isomorphes à Z. Le groupe de degré n dans les deux cas est excatement isomorphe à Z (il n'y a pas de torsion en degré n). On connaît moins bien la partie de torsion de ces groupes (les déterminer tous est un problème du même type que déterminer l'ensemble de tous les entiers premiers).

    Je suis disponible si d'autres questions se posent.

  12. #8
    invite986312212
    Invité

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    merci.

    je comprends pas tout mais ça donne une idée. Je vois qu'il est question de groupe d'homotopie des sphères, je devine qu'on peut utiliser d'autres variétés: des cylindres? (pour faire le tour d'un trou non borné)

  13. #9
    homotopie

    Re : généralisation du théorème de Jordan

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    merci.

    je comprends pas tout mais ça donne une idée. Je vois qu'il est question de groupe d'homotopie des sphères, je devine qu'on peut utiliser d'autres variétés: des cylindres? (pour faire le tour d'un trou non borné)
    Pour le cylindre cela n'élargit pas car un cylindre à homotopie près c'est un cercle.
    Pour les autres variétés, le problème est que très peu d'entre elles ont la propriété des sphères d'être des co-H espaces. Kézako que cette bestiole.
    Un H-espace est l'extension homotopique de la notion de groupe : on a une application XxX->X qui vérifie que (ab)c=a(bc) pour les groupes, pour les H-espaces on ne demande seulement que les deux applications soient homotopiques. Plus application inverse, à homotopie près cette appliocation inverse est vérifiée modulo des hypothèses très faibles.
    Un co-H espace on inverse, en prenant autre chose que le produit, un exemple est la description de l'opération de groupe. Les sphères ont une telle structure, cf les descriptions de l'opération de groupe pour les groupes d'homotopie.
    Deuxièement, les groupes d'homotopie suffisent pour cerner les espaces du type Hom(X;Y) où X peut être recosntruit à partir de sphère (les CW sont le cas générique, les variétés sont un cas agréable géométriquement parlant, homotopiquement ce n'est pas toujours le cas)

    Quant à la question de trou, la question est plus épineuse dès que l'on dépasse le degré minimal. Par exemple un tore, le H_1(tore;Z) et le sont tous les deux isomorphes à ZxZ. Mais ce qui illustre qu'il y a un trou borné par de la dimension 2 mais ce qui illustre que ce trou n'est pas celui d'une sphère et n'est donc pas générique mais en fait un produit (celui des deux générateurs de degré 1). (

    L' homologie et la cohomologie reflète une facette de la topologie des espaces, les groupes en réflètent une autre. Les deux sont intrinsèquement liées (même si le lien n'est pas toujours évident), sont complémentaires à un point tel qu'ils sont suffisants pour l'étude algébrique de la topologie des espaces adaptées à ces outils (les CW-complexes dont les variétés font partie). Les espaces importants sont les espaces dont l'homologie est concentré en un unique degré (hormi 0) ce sont les sphères et Hom(S_n;Y) reflètent une énorme importance et les K(G;n) les espaces asphériques (leur groupes homotopiques sont triviaux hormi en degré n où il vaut G).

    Ca fait un peu suite d'affirmation mais difficile de montrer des résultats souvent très techniques ou d'illustrer un domaine qui s'attaque souvent à des questions elles-mêmes très pointues venant d'autres domaines. Un exemple de l'efficacité de la complémentarité entre groupes d'homotopie et l'homologie-cohomologie est présent sur ce forum : action d'un groupe fini sur R^n.

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