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Algèbre de matrice 3D



  1. #1
    scientist

    Algèbre de matrice 3D


    ------

    Bonjour,
    sur le net il est bien sûr facile de trouver des infos sur les algèbres des matrices mais ça je connais très bien. Ma question est la suivante : existe-t-il des algèbres de matrices 3D (n*m*p)? Existe-t-il aussi des fonctions connues permettant de manipuler la dimension des matrices (comme le produit scalaire qui reduit la dimension V.V->scalaire ; existe-t-il des fcts de type V op. M-> M3d?)?

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Bonsoir


    Oui, ce sont les tenseurs qui généralise les matrices. (une recherche sur internet te donnera des résultats) ils sont beaucoup utilisé en physique par exemple pour la théorie de la relativité. mais on a plus vraiment une structure d'algèbre dans le sens ou il y a plusieur facon d'effectuer le "produit".

  4. #3
    hterrolle

    Re : Algèbre de matrice 3D

    bonjour,

    je ne peux pas repondre a ta question. Par contre cela m'interesse de savoir se que tu entends par la DIMENSSION de la matrice ?

    pour moi cela ressemble a un phenomene fractal ou de zoom.

  5. #4
    scientist

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Les tenseurs... et dire que j'ai vu ce terme cette année (mais qu'on n'en a jamais fait d'ordre supérieur à 2!!). OK merci!!

    Pour le côté d'algèbre plus vraiment, c'est sans doute lié à ma question suivante (très indirectement) au niveau des dimensions (le nombre d'indices des coefficients et non pas le rang de la matrice, etc.) :
    Existe-t-il un (des) opérateur(s) connu(s) permettant de passer d'un tenseur (i,j,k,...) à un tenseur avec moins (i,j,...) (ça je pense que oui) ou plus d'indice (i,j,k,l,...)? [dans l'esprit, comme rotationnel, gradiant et divergeant]

    Pour la vision fractal ou zoom, je ne sais pas pour le moment, je dirais plutôt une réduction spatiale (ex : Mat*Vect=Vect. Mat, matrice de ce qui est ; Vect, vecteur d'un évènement et du résultat observable)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ksilver

    Re : Algèbre de matrice 3D

    on parle plutot d'ordre pour désigner ce que tu apelle dimension.

    Et bien faire des produit tensorielle modifie l'ordre des tenseurs.
    et en fait tous les opérateur différentielle que tu as cité (gradient, divergence, rotationelle) sont en fait des cas particulier d'un seul opérateur qui modifie la dimension (mais ne s'applique que a des tenseur completement anti-symétrique ce qui quand l'ordre augmente deviens de plus en plus contraignant et en les utilisant naivement on ne ce rend pas compte que le rotationelle est en fait d'ordre 2, et que la divergence prend un objet d'ordre 2 pour donner un objet d'ordre 3... ceci n'apparait que quand on ecrit le théorème de Stokes... mais la je m'égare dans des choses peut-etre un peu trop compliqué, si ca t'interesse de devrait déja te renseigner un peu sur les tenseur ^^ )

  8. #6
    cacahuete1er

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Oui ca existe d'ailleur le gradiant et la divergence sont transposable au tenseur d'ordre supérieur à 2
    Grandiant de M tenseur d'ordre 3
    Mijk,l
    Divergence de M
    Mijk,k

    (j'utilise la notation d'einstein pour faire court ,l signifie derivé par rapport à l et un double indice kk signifie une sommation sur l'indice k)

    De meme le produit scalaire peut s'utiliser:
    pour des vecteur ca donne M.N=MiNi
    pour des tenseur d'orde 3 ca donne M.N=MijkNlnk

    Il y a aussi le produit contracté qui permet de passer de tenseur d'ordre 3 a des tenseur d'ordre 1 (scalaire)
    M:N=MijkNljk

    Y en a encore d'autre comme le laplacien...

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  10. #7
    Ksilver

    Re : Algèbre de matrice 3D

    NB : Je précise sur le message de cacahuete1er que quand un indice apparai deux fois dans une ecriture tensorielle ca signifie qu'on fait la somme desssu, le produit matricielle usuelle s'ecrit ainsi AB=AikBkj
    (normalement l'un des deux indices apparait en position haute et l'autre en position basse etc... enfin bref)

  11. #8
    cacahuete1er

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Oui, je vois pas le probleme c'est bien ce que j'ai ecrit.
    Je n'est pas parlé de pouduit matriciel qui ne change pas l'ordre des tenseurs mais de produits contracté ce qui n'a rien a voir... enfin bref.
    (quant aux indice covariant et contravriant j'avous que je n'y ai jamais compris grand chose)

  12. #9
    scientist

    Re : Algèbre de matrice 3D

    J'ai bien compris tout ce que vous vouliez me dire.
    J'ai farfouillé sur le net à la recherche des tenseurs et je suis étonné de ne voir que de l'ordre 2 ou uniquement du formalisme mathématique. Les tenseurs d'ordre supérieur ne s'écrivent-il jamais?

    Ensuite, j'ai construit rapidement un opérateur qui m'intéresse pour mon application et je souhaitais le retrouver dans cette algèbre mais comme c'est dans des ordres au moins 3, j'suis embêté pour l'identifier.
    Je vous met en pièce jointe des exemples pour les ordres représentables.
    Images attachées Images attachées  

  13. #10
    Ksilver

    Re : Algèbre de matrice 3D

    si par "écrire" tu pense a une représentation graphique, et bien oui c'est plutot embettant de représenter un tenseur d'ordre supérieur a 2.

    la seul chose qu'on sait ecrire sur notre feuille c'est une liste ou un tableau, donc tous ce qu'on peut faire c'est "figer" tous les indice sauf un et représenté le teuseur d'ordre 2 qu'on obtiens ainsi...

  14. #11
    Seirios

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Bonjour,

    Je ne sais pas si ça pourra t'aider, mais voici un site que je trouve plutôt bien fait sur le calcul tensoriel (vu principalement d'un point de vu physique) : Eléments d'algèbre et d'analyse vectorielle à l'usage des mécaniciens
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #12
    vin_100

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Salut,
    Concernant ton souci de représentation graphique,
    si tu as des symétries, tu peux peut-etre "ré-écrire" tes indices...

    je vais prendre un exemple ce sera plus clair.
    prends la loi d'élasticité,



    Or les tenseurs et sont symétriques

    Ca te permet d'écrire ca sous une forme plus aisée
    car tu as réduit ton nombre d'éléments (81 à 21)

    Tu peux l'écrire sous la forme

    En fait tu as pris les 6 éléments distincts sur


    Et tu les "ranges" pour avoir un vecteur cette fois...

    Bon je suis pas très clair , mais tu trouveras facilement des infos là-dessus si nécessaire.

    Cordialement,

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  17. #13
    scientist

    Re : Algèbre de matrice 3D

    Pour répondre à chacun :

    _d'accord mais AUCUN exemple graphique, j'trouve ça étrange (j'ai bien réussi à dessiner un tenseur (2x3x2) dans mon exemple!)

    _Merci pour le lien, j'ai regardé les opérations de base (surtout le produit de tenseur). J'ai surtout noté {T}p (x) {T}q ={T}p+q et la définition.
    Avec P torseur d'ordre 2 et Q d'ordre 3
    (P(x)Q)(V,W,X,Y,Z)=P(V,W).Q(X, Y,Z)=(Pij.Qkmn).Vi.Wj.Xk.Ym.Zn
    C'est très proche de ce que j'effectue mais les dimensions ne sont pas les mêmes puisque je n'obtient pas un tenseur d'ordre p+q. Il ne s'agit pas non plus du produit contracté puisque je n'obtiens pas un ordre p+q-2 (mais plus Min(p,q)+1).
    J'en déduit que mon opérateur ne rentre pas dans une construction de tenseur.

    _Pour le problème de représentation, euh sans doute mais je pense que je vais essayer de trouver autre chose parce que les coeffeicients ne sont pas symétriques a priori.

    Merci à tous de votre aide.

  18. #14
    Ksilver

    Re : Algèbre de matrice 3D

    je comprend pas trop l'image que tuas mis en lien, peut-tu détaillez un peu ce qu'est cette opération ?

  19. #15
    scientist

    Et bien je l'ai inventé (même si d'autres avant moi ont du le faire). Il s'agit en fait simplement d'un développement du calcul matriciel.
    Il suffit de projeter les "matrices 3D" que j'ai dessiné en regardant par la droite pour retomber sur le monde des matrices. (faire la somme des coeff dans cette direction).

    Pour définir l'opérateur, il suffit de multiplier terme à terme les coefficients des "matrices" en laissant la matrice de gauche telle qu'elle dans le plan de la feuille et la matrice de droite pivoté sur un plan ... comme sur le fichier joint parce que la 3d avec des mots, c'est pas usuel .

    ... après il reste le produit matriciel3d...
    Images attachées Images attachées  

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