algèbre

[invited436cae9]

bonjour, et bonne année
j'ai quelques petites questions sur l'algèbre que j'ai touvé en parcourant des rapports de concours et auxquelles je n'arrive pas à répondre:

1)comment montrer que si u ∈ L(E) est diagonalisable et F ∈ E est un sous-espace stable par u, alors sa restriction à F est un endomorphisme diagonalisable de F

2)quelle est la différence entre intégrabilité et existence d'intégrale ??

3)pourquoi l'affirmation suivante et elle fausse:
"si P ∈ R[X] et que B est la matrice suivante :
[A A]
[A A]
alors P(B) est égal à:
[P(A) P(A)]
[P(A) P(A)] "

merci d'avance
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[g_h]

1)comment montrer que si u ∈ L(E) est diagonalisable et F ∈ E est un sous-espace stable par u, alors sa restriction à F est un endomorphisme diagonalisable de F

Salut,

Tu sais que u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé simple.
En montrant que la restriction de u à F annule le polynôme minimal de u (ce qui est tout à fait élémentaire), tu as donc montré que cette restriction est diagonalisable.


Pour le 3), essaye avec P(X) = X² et tu verras ton erreur.
Pour le 2), je n'en sais rien...

[invitedef78796]

2)quelle est la différence entre intégrabilité et existence d'intégrale ??

Salut,

Dans ton cours, on doit t'expliquer comment définir l'intégrabilité sur un intervalle I de R
d'une fonction continue par morceaux et à valeurs réelles positives.

Une fois que tu sais faire cela, c'est très simple on généralise : est dite intégrable sur I si est intégrable sur I.

Cependant, il se présente des cas (genre sur ) où la fonction n'est pas intégrable mais où il est possible de définir une intégrale impropre.
Par exemple, ; on continue de noter cette intégrale et on dit que l'intégrale converge improprement.

Cordialement,

[g_h]

Tu sais que u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé simple.
En montrant que la restriction de u à F annule le polynôme minimal de u (ce qui est tout à fait élémentaire), tu as donc montré que cette restriction est diagonalisable.

Le "donc" que j'écris ici est trompeur puisqu'il ne reprend pas exactement la condition que j'énonce (il n'est pas question du polynôme minimal de mais de celui de .
En faisant ce que j'écris, tu montres en fait qu'il existe un polynôme annulateur de qui soit scindé simple, et donc est diagonalisable.

Voilà, c'était juste pour être clair et précis !

Ensuite, le fait que F soit stable par u est juste un "détail" (bien qu'indispensable) qui intervient implicitement : pour pouvoir parler de diagonalisation, il faut un endomorphisme, il faut donc être assuré que est à valeurs dans F.
En fait, quand on parle de , on parle en général d'une application de F dans E (ce n'est pas forcément un endomorphisme)
Lorsque F est stable par u, alors par on sous entend en fait l'application induite qui va de F dans F, bien que ça ne soit pas tout à fait rigoureux (quelqu'un pour confirmer ?), mais ça évite de se perdre dans des choses sans grand intérêt.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited436cae9]

merci g_h et IceDL

et si quelqu'un voit pour le 3...

[invited436cae9]

merci g_h et IceDL