Système d'équation différentielles

[invitecd57206b]

Bonsoir, j'aimerais savoir resoudre un systeme d'equations differentielles du type:

Y'=AY+B

Pour le moment je ne sais resoudre que les systemes du type:

Y'=AY avec les valeurs propres et les vecteurs propres.

Merci beaucoup !
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[g_h]

Bonsoir, j'aimerais savoir resoudre un systeme d'equations differentielles du type:

Y'=AY+B

Pour le moment je ne sais resoudre que les systemes du type:

Y'=AY avec les valeurs propres et les vecteurs propres.

Merci beaucoup !

Salut !

Premièrement, juste une remarque, la méthode des valeurs propres (qui sous entend diagonalisation) n'est pas une méthode générale (rien n'assure qu'on va pouvoir diagonaliser). En général, il faut se plonger dans et trigonaliser la matrice (sous forme de Jordan, pourquoi pas, ça évite pas mal de calculs et c'est vraiment facile quand la taille de la matrice est raisonnable). Ensuite, tu sais résoudre toutes les équations différentielles de proche en proche en commençant par la dernière.
Ca, c'était juste une remarque, mais si ça t'intéresse c'est toujours bon à savoir.


Ensuite, pour les équations avec second membre, on peut faire la bonne vieille méthode de la variation de la constante (le calcul prend trois lignes), et sauf erreur de ma part, une solution particulière de l'équation est une primitive de :

multipliée par


Tu y ajoutes la solution générale de l'équation sans second membre et le tour est joué

[invite587990a2]

Pour trouver le résultat tu peux appliquer la
méthode de la "variation d'une constante"

Autrement dit une fois que tu trouve ton
Y pour l'équation homogène (=sans le B)
tu le dérive pour trouver la constante approprié.

Pour être concret, le resultat de l'équation
homogène est de la forme


Tu remplace C par C(x) et tu dérive
tu trouve


La première partie correspond à AY, la seconde
à B, il ne te reste plus qu'a trouve C(x) tel que


Et le tour est joué!

[g_h]

guguy> je pense que tu t'es trompé, on parlait de systèmes linéaires d'équations différentielles !

Manolack> Juste un truc : si tu n'as pas vu les exponentielles d'endomorphismes dans le cas général, il va falloir te restreindre au cas diagonalisable, mais là tu devrais savoir faire directement avec ta méthode, si tu sais résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 1 (pas des systèmes différentiels), donc ta question serait un peu surprenante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite587990a2]

g_h -> Oui mais cette méthode fonctionne tout
aussi bien qu'il s'agisse de fonctions ou
de matrices !

[invite587990a2]

Je voulais dire qu'il s'agisse de fonctions classiques
ou de systèmes matricielles.

[g_h]

Heu, si on parle de matrices, je trouve ça un peu bizarre d'écrire ça... non ?

[invitecd57206b]

Je ne sais pas pourquoi mais ca reste encore obscur surement parce que je ne connais pas les exponentielles de matrice.

moi quand je resoud mon systeme homogene j'obtient qq chose de ce genre:

Y= a U exp(xt) + b V exp(yt)

a et b sont dans R
U et V sont les vecteurs propres associés aux valeurs propres x et y.

une fois que j'ai ca qu'est ce que je dois faire :'(

[g_h]

Ok, sans parler d'exponentielles de matrices alors :

L'équation à résoudre est :


Tu as ou D est diagonale (tu cherches les matrices de passage)


si tu multiplies par P^-1 ça fait :


Tu poses
Il reste alors à résoudre :


ça, tu sais parfaitement résoudre, c'est en fait n équations différentielles linéaires du premier ordre, et indépendantes (en , , ..., )

Tu trouves donc Z(t), que tu multiplies par P pour trouver Y(t) et tu as fini.

[invitecd57206b]

Merci beaucoup tout le monde