Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 10 sur 10

Système d'équation différentielles



  1. #1
    Manolack

    Système d'équation différentielles


    ------

    Bonsoir, j'aimerais savoir resoudre un systeme d'equations differentielles du type:

    Y'=AY+B

    Pour le moment je ne sais resoudre que les systemes du type:

    Y'=AY avec les valeurs propres et les vecteurs propres.

    Merci beaucoup !

    -----
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  2. Publicité
  3. #2
    g_h

    Re : Système d'équation différentielles

    Citation Envoyé par Manolack Voir le message
    Bonsoir, j'aimerais savoir resoudre un systeme d'equations differentielles du type:

    Y'=AY+B

    Pour le moment je ne sais resoudre que les systemes du type:

    Y'=AY avec les valeurs propres et les vecteurs propres.

    Merci beaucoup !
    Salut !

    Premièrement, juste une remarque, la méthode des valeurs propres (qui sous entend diagonalisation) n'est pas une méthode générale (rien n'assure qu'on va pouvoir diagonaliser). En général, il faut se plonger dans et trigonaliser la matrice (sous forme de Jordan, pourquoi pas, ça évite pas mal de calculs et c'est vraiment facile quand la taille de la matrice est raisonnable). Ensuite, tu sais résoudre toutes les équations différentielles de proche en proche en commençant par la dernière.
    Ca, c'était juste une remarque, mais si ça t'intéresse c'est toujours bon à savoir.


    Ensuite, pour les équations avec second membre, on peut faire la bonne vieille méthode de la variation de la constante (le calcul prend trois lignes), et sauf erreur de ma part, une solution particulière de l'équation est une primitive de :

    multipliée par


    Tu y ajoutes la solution générale de l'équation sans second membre et le tour est joué

  4. #3
    guguy

    Re : Système d'équation différentielles

    Pour trouver le résultat tu peux appliquer la
    méthode de la "variation d'une constante"

    Autrement dit une fois que tu trouve ton
    Y pour l'équation homogène (=sans le B)
    tu le dérive pour trouver la constante approprié.

    Pour être concret, le resultat de l'équation
    homogène est de la forme


    Tu remplace C par C(x) et tu dérive
    tu trouve


    La première partie correspond à AY, la seconde
    à B, il ne te reste plus qu'a trouve C(x) tel que


    Et le tour est joué!

  5. #4
    g_h

    Re : Système d'équation différentielles

    guguy> je pense que tu t'es trompé, on parlait de systèmes linéaires d'équations différentielles !

    Manolack> Juste un truc : si tu n'as pas vu les exponentielles d'endomorphismes dans le cas général, il va falloir te restreindre au cas diagonalisable, mais là tu devrais savoir faire directement avec ta méthode, si tu sais résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 1 (pas des systèmes différentiels), donc ta question serait un peu surprenante.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    guguy

    Re : Système d'équation différentielles

    g_h -> Oui mais cette méthode fonctionne tout
    aussi bien qu'il s'agisse de fonctions ou
    de matrices !

  8. #6
    guguy

    Re : Système d'équation différentielles

    Je voulais dire qu'il s'agisse de fonctions classiques
    ou de systèmes matricielles.

  9. Publicité
  10. #7
    g_h

    Re : Système d'équation différentielles

    Citation Envoyé par guguy Voir le message
    Heu, si on parle de matrices, je trouve ça un peu bizarre d'écrire ça... non ?

  11. #8
    Manolack

    Re : Système d'équation différentielles

    Je ne sais pas pourquoi mais ca reste encore obscur surement parce que je ne connais pas les exponentielles de matrice.

    moi quand je resoud mon systeme homogene j'obtient qq chose de ce genre:

    Y= a U exp(xt) + b V exp(yt)

    a et b sont dans R
    U et V sont les vecteurs propres associés aux valeurs propres x et y.

    une fois que j'ai ca qu'est ce que je dois faire :'(
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

  12. #9
    g_h

    Re : Système d'équation différentielles

    Ok, sans parler d'exponentielles de matrices alors :

    L'équation à résoudre est :


    Tu as ou D est diagonale (tu cherches les matrices de passage)


    si tu multiplies par P-1 ça fait :


    Tu poses
    Il reste alors à résoudre :


    ça, tu sais parfaitement résoudre, c'est en fait n équations différentielles linéaires du premier ordre, et indépendantes (en , , ..., )

    Tu trouves donc Z(t), que tu multiplies par P pour trouver Y(t) et tu as fini.

  13. #10
    Manolack

    Re : Système d'équation différentielles

    Merci beaucoup tout le monde
    Un bonjour à tous ceux qui m'ont dit que les maths c'était pas pour moi :D

Discussions similaires

  1. système d'équations différentielles
    Par le fouineur dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 29/11/2007, 14h02
  2. Systeme d'équation
    Par MagStellon dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 01/10/2007, 22h17
  3. Système d'équation intégrales-différentielles
    Par Mataka dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 10/03/2007, 14h51
  4. Systeme d'equation differentielles
    Par FSALAS dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 08/11/2006, 19h10
  5. Les différents types d'équation différentielles
    Par LicenceXP dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 14
    Dernier message: 22/01/2006, 10h24