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Les différents types d'équation différentielles




  1. #1
    LicenceXP

    Les différents types d'équation différentielles

    Bonsoir !

    Il existe a ma connaissance 3 types d'équation différentielles :
    -à variable séparable
    -linéaire
    -à fonction homogène.


    Ma question : comment les distinguez vous ? Pouvez vous me donner des exemples ?

    -----


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  3. #2
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Il y a bien d'autres cas, l'ennui c'est que ça ne se distingue pas spécialement du premier coup d'oeil.

    D'autres part certaines équadiffs. peuvent appartenirent à plusieurs des catégories que tu as citées

    Exemple :

    y' + xy = 0 est une équation différentielle linéaire à variable séparable (vois-tu pourquoi ?)

    y' + y² = 0 est une équation différentielle à variable séparable non linéaire (vois-tu pourquoi ?)

  4. #3
    LicenceXP

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Différence entre linéaire et non linéaire ? Et entre séparable et non séparable ?

    Linéaire des rares fois que j'ai entendu le mot j'en suis arrivé à la conclusion que ça signifiait qu'il ne pouvait y avoir dans l'équation un produit entre 2 variables. Je vois dès à présent que je me trompais vu ton exemple : y' + xy = 0


  5. #4
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    En fait :

    Sont linéaires les équations différentielles du type :



    Sont a variables séparables les équations différentielles dont on peut isoler les variables (tout les x d'un côté est les y de l'autre)

    Sont à fonction homogène les équations du type :

    y' = f(y/x)

    Elle sont appelées à fonction homogène car y' reste inchangé si y et x sont simultanément multipliés par un même facteur
    ex :

    y' = (x + y) / (x - 3y) est à fonction homogène

    mais pas :

    y' = (x + y&#178/(x - y)

  6. #5
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Si tu veux des exemples pour bien distinguer linéaire et à variables séparables :

    1) y' = x² + y²

    n'est ni linéaire (à cause du y&#178 ni à variables séparables (essaye de séparer les variables tu verras que ça ne va pas)

    2) 2y'' + y' - y = 5x

    est linéaire (et comme tous les coefficients des termes en y sont constants on dit qu'elle est à coefficients constants) mais pas à variables séparables

    3) y'''' = x est linéaire à variables séparables

    4) xy'' + x³y' + y = 0 est linéaire pas à variables séparables et pas à coefficients constants

    5) (x² + 1)y' + y = 5 est linéaire à variable séparable

    ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    LicenceXP

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Si tu veux des exemples pour bien distinguer linéaire et à variables séparables :

    1) y' = x² + y²

    n'est ni linéaire (à cause du y&#178 ni à variables séparables (essaye de séparer les variables tu verras que ça ne va pas)
    Et si je fais y'-y²=x², n'ais-je pas isolé les variables y d'un coté et les x de l'autre ?



    Je ne comprends pas très bien cette expression; pourquoi tes x sont entre parenthèse ?

  9. #7
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Citation Envoyé par LicencXP
    Et si je fais y'-y²=x², n'ais-je pas isolé les variables y d'un coté et les x de l'autre ?
    Ben non car tu as en fait : y' = dy/dx

    Le but est de mettre tous les y (le dy comprit) dans un des membres et tous les x (le dx comprit) dans l'autre.
    Tu peux essayer, ce n'est pas possible

    Sinon pour l'expression d'une équadiff linéaire ça me semblait évident que désignait une fonction de x, mais visiblement j'aurais du préciser, désolé

    Je reprend :

    Soit une n + 2 fonctions de x

    Soit y(x) une autre fonction de x

    La relation :



    est appelée équation différentielle linéaire d'ordre n en la fontion y.

    Si je prend : y" + xy' + 5y' = cos x

    j'ai n = 2, a2(x) = 1, a1(x) = x, a0(x) = 5, b(x) = cos x

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  11. #8
    LicenceXP

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    C'est plus clair merci
    N'oubliez jamais que ce qui vous paraît intuitif et évident ne l'est pas pour le novice (je dis ça pour me rattraper du fait que j'avais pas compris la première fois que an(x) était une fonction de x ).

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Citation Envoyé par LicenceXP
    N'oubliez jamais que ce qui vous paraît intuitif et évident ne l'est pas pour le novice (je dis ça pour me rattraper du fait que j'avais pas compris la première fois que an(x) était une fonction de x ).
    De toute façon j'aurais du préciser qu'il s'agissait de fonctions, c'était une imprécision de ma part ...

    Et tu n'es pas plus novice que moi va

  13. #10
    LicenceXP

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Dans y" + xy' + 5y' = cos x

    J'imagine que le 5y' est une faute de frappe, c'est 5y

    Au fait si on avait eu y''+(5+x)y'=cosx, ce n'est plus linéaire vu qu'il manque le terme en y ? Ca compte si a1(x)=0 ?

  14. #11
    invite43219988

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Si, c'est toujours linéaire. (simplement le coefficient devant y vaut 0)

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Citation Envoyé par LicenceXP
    J'imagine que le 5y' est une faute de frappe, c'est 5y
    En effet désolé, mais comme le dit Ganash ça reste linéaire. Simplement le coefficient devant le y vaut zéro.

    Ainsi l'équation :

    5y'''''' + y''' - y' = (x² + x + 1) est linéaire

  16. #13
    LicenceXP

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Citation Envoyé par Bleyblue
    y' = (x + y) / (x - 3y) est à fonction homogène

    mais pas :

    y' = (x + y²)/(x - y)

    Dans le deuxième cas c'est à cause du y², c'est bien ça ? Admettons que je fasse tout fois 5, je vais avoir 25y², ce qui ne permet pas de simplification pour revenir au cas initial.

  17. #14
    Bleyblue

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Dans le premier cas, prenons par exemple le nombre 87.
    Multiplions à la fois x et y par 87

    on à y' = (87x + 87y)/(87x - 3*87y) = (x + y)/(x - 3y)
    L'équation est inchangée donc elle est bien à fonction homogène

    Par contre pour le second cas on aura :

    y' = (87x + 87²y&#178/(87x - 87y) = (x + 87y)/(x - y)
    L'équation n'est plus la même que celle de départ donc elle n'est pas à fonction homogène

    Le fait qu'elle soit à fonction homogène nous permet d'utiliser une technique de résolution assez pratique (que tu connais j'imagine ...)

  18. #15
    LicenceXP

    Re : Les différents types d'équation différentielles

    Oui en effet, j'ai pu rédiger une méthode de résolution en fonction du type d'équation maintenant que je sais les distinguer

    Je mettrais peut-être ça sur le forum après les examens, ça pourra être utile à plus d'un

    Il ne me reste plus qu'à vous remercier (et encore une fois en particulier Bleyblue

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