Systeme d'equation differentielles
Salut a tt le monde j'ai un petit probleme dans mon exercie l'enoncer est la suivante :
Determiner les fonctions x, y, z, derivable sur R telles que pour tout reel t :
x' (t) = y (t) + z (t) - 2 x (t)
y' (t) = z (t) + x (t) - 2 y (t)
z' (t) = x (t) + y (t) - 2 z (t)
et x(0) = 0 , y(0)= -1 , z(0) = 4
Je sai pas par ou commencer je doi finir cette exercie pour demain matin et j'ai rien , veuillez svp m'aider
Comme tu ne dis pas ton niveau, ça va être délicat.
Essaie de trouver des solutions de la forme :
x = A exp(lambda*t)
y = B exp(lambda*t)
z = C exp(lambda*t)
où lambda, A, B et C peuvent être complexes.
Les équations obtenues devraient te rappeler quelque chose si tu ne veux pas que A = B = C = 0
En additionnant les 3 équations
.. je te laisse continuer
Désolé , petite erreur . je corrige :Envoyé par MMu
En additionnant les 3 équations
Merci j'ai trouver la solus :
Il faut dja integrer un fonction f dfinie sur R par
f(t) = x(t) + y(t) + z(t) en additionnent membre a membre je sait ke f'(t) = 0 et comme
x(t) + y(t) + z(t) = 3 d'où
y(t) + z(t) = 3 - x(t)
y(t) + z(t) - 2 x (t) = 3 -3 x (t)
donc x'(t) = -3 x(t) + 3 alors x(t) = k e^(-3 t) + 1
et comme x(0) = 0 alor k = -1 donc
x (t) = -1 e^(-3t) + 1
C'est le meme principe pour le reste
Merci bcp à Mmu pour son aide et merci aux autre oci
Salut,
Pour info, la méthode générale consiste à prendre exp(t A) où A est la matrice 3*3 de ton systeme. Essentiellement, cela implique une diagonalisation, ie un calcul de valeurs propres, de vecteurs propres, etc.
Ici, il se trouve que la droite d'équation x=y=z est dans l'espace propre associé à zéro, et que cela suffit à découpler tes équations.
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rvz, pour une méthode un chouia plus générale
