algebre

[inviteb8113259]

salut a tous. je sais que lensemble des fonctions de IR dans IR es une IR algebre qui est muni de 3 loi alors : la loi +, la loi * (qui est la multiplicatiion par un reel) et une 3eme loi interne .je me demandais alors si cette 3eme loi est la multiplication * (de 2 fonction) ou bien la loi de composition "o" (par exemple fog) ??? est ce ke quelquin pourrait meclairer la dessus?
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[inviteab2b41c6]

Une K-algèbre c'est un anneau et un K-espace vectoriel.
Usuellement les lois sont + * et . avec * la multiplication entre fonctions et . la multiplication scalaire, mais on peut en fait aussi avoir une structure d'algèbre en remplacant * par la loi de composition o.

[inviteb8113259]

donc si je comprend bien, que cela soit avec"o" ou bien la loi * ca reste une IR algebre??

[invite51f4efbf]

salut a tous. je sais que lensemble des fonctions de IR dans IR es une IR algebre qui est muni de 3 loi alors : la loi +, la loi * (qui est la multiplicatiion par un reel) et une 3eme loi interne .je me demandais alors si cette 3eme loi est la multiplication * (de 2 fonction) ou bien la loi de composition "o" (par exemple fog) ??? est ce ke quelquin pourrait meclairer la dessus?

Pour répondre à ta question, je te propose une autre manière de définir une algèbre que celle d'anneau étant également un espace vectoriel. Ne t'inquiète pas, tu verras très vite qu'elles sont équivalentes.

Une algèbre sur un corps , c'est simplement un anneau qui admet comme sous-corps central (contenu dans le centre), ou plus précisément qui admet un sous-anneau qui est un corps isomorphe à .

Comme on peut dire que est inclus dans , on peut définir un produit de sur tout simplement en prenant le produit de l'anneau. Ceci confère à une structure d'espace vectoriel sur .

Ici, , et désigne l'ensemble des fonctions de dans , muni en tout cas de l'addition terme à terme. La question que tu poses est donc quel est le produit qu'il faut mettre pour que soit un sous-corps central de . Il est évident que l'ensemble des fonction constantes est une copie de contenue dans . De plus, que tu considères le produit comme étant la composition des applications, ou bien le produit terme à terme, cet ensemble forme clairement un sous-corps central. Les deux produits sont donc acceptables.

En revanche, ceci fonctionne parce que tu considères les fonctions de dans . Si tu considères les fonctions d'un ensemble dans , où est quelconque, tu ne pourras pas composer tes applications. Tu n'auras donc que le produit terme à terme à disposition pour une structure "naturelle".

Amicalement,
Stephen

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8113259]

ah okkayy !! jai compris maintenant .thanks stephen

[inviteb8113259]

g encore une kestion: est ce ke la loi "o" est toujours distributive par rapport a la loi + ??

[invite51f4efbf]

Non, c'est faux en général. Tu as raison de le mentionner, j'ai répondu un peu vite !

[inviteab2b41c6]

Ca dépend dans quel sens, la loi o n'est pas commutative.

Tu verras que l'on utilise la loi o dans certains cas pour munir l'ensemble des fonctions de la structure d'algèbre, c'est lorsque l'on étudie l'espace des applications linéaires (une application est linéaire si elle va d'un espace vectoriel dans un autre et si pour tout x,y et tout scalaire (ie élément du corps de base) a alors on a
f(ax+y)=af(x)+f(y))

L'étude de ses applications est un énorme morceau de l'algèbre, c'est ce que l'on appelle couramment l'algèbre linéaire.
Lorsque l'on étudie les applications 1-linéaires (les applications d'une variable vectorielle et linéaire, en oppositions aux applications de n variables vectorielles, comme par exemple les determinants ou les produits scalaires, vectoriels etc...) on se rend compte que l'on peut créer des objets dont on muni leur ensemble d'une multiplication interne. Ces objets sont ce que l'on appelle des matrices, et tu verras que l'ensemble des fonctions associées forment une k-algèbre pour la loi rond et que l'ensemble des matrices forme un k-algèbre pour la loi * (les 2structures sont isomorphes en tant qu'algèbre!!)
En fait multiplication, rond, truc, anti truc, ou somme, ne sont que des symboles pour désigner des opérations différentes, mais lorsque l'on change d'espace elles ne veulent plus représenter la même chose, et inversement cet isomorphisme d'algèbre prouve que 2structures différentes, avec des opérations "différentes" sont exactement équivalentes au niveau de leurs opérations....

[inviteb8113259]

g encore une kestion: est ce ke la loi "o" est toujours distributive par rapport a la loi + ??

désolée pour l'écriture en langage sms: j'aurais du écrire:"jai encore une question, est ce que la loi..." je m'excuse.