integrale

[inviteb8113259]

salut a tous.
voila jai une question: je me demandais si, pour integrer une fonction il faut necessairement que celle ci soit continue ou non.ce serait gentil si quelquin pourrait meclairer ladessus.
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[invite1f50893f]

Si je me rapelle bien mon cours de maths, elle doit être continue par partie, donc en gros elle doit être continue sur un nombre fini de sous intervalles. Mais j'attend confirmation.

[inviteca3a9be7]

Non non, il n'y a aucune obligation à être continue, même par morceaux.

Il y a un très beau résultat de Lebesgue qui dit qu"une fonction est intégable (au sens de Riemann mais on va pas compliquer) ssi l'ensemble de ses points de discontinuté est de mesure nulle (ce qui implique qu'il est au plus dénombrable).


Un exemple de telle fonction tordue :

f(x) = 0 si x € R\Q
f(p/q) = 1/q

On montre que f est continue en tout point de R\Q (et non continue ailleurs), elle est donc intégrable (et son intégrale vaut 0).

[inviteab2b41c6]

Ce qui est encore plus "rigolo", c'est que si on prolonge cette fonction en 0 en posant f(0)=1 alors non seulement cette fonction est intégrable, mais sa composée par elle même (fof) ne l'est pas ....

Sinon on a pas besoin d'utiliser le théorème de Lebesgue là dessus, en effet, montrer la continuité en R-Q revient dans ce cas à montrer son intégrabilité (au sens de Riemann)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8113259]

ok.je crois que je comprends mieux maintenant.merci !!

[invite51f4efbf]

salut a tous.
voila jai une question: je me demandais si, pour integrer une fonction il faut necessairement que celle ci soit continue ou non.ce serait gentil si quelquin pourrait meclairer ladessus.

La grande question, c'est qu'appelle tu "intégrable" ? Au sens de "on peut trouver une primitive", ou bien (ce qui est la vraie définition) "mesurable et dont l'intégrale est finie" ?

Non non, il n'y a aucune obligation à être continue, même par morceaux.

Il y a un très beau résultat de Lebesgue qui dit qu"une fonction est intégable (au sens de Riemann mais on va pas compliquer) ssi l'ensemble de ses points de discontinuté est de mesure nulle (ce qui implique qu'il est au plus dénombrable).


Un exemple de telle fonction tordue :

f(x) = 0 si x € R\Q
f(p/q) = 1/q

On montre que f est continue en tout point de R\Q (et non continue ailleurs), elle est donc intégrable (et son intégrale vaut 0).

Je suis un béotien en mesure. Que se passe-t'il si je pose


si


L'intégrale de Lebesgue diverge, de même que l'intégrale généralisée de Riemann. Le théorème n'est-il pas vrai pour une fonction dont l'ensemble des points de non continuité est négligeable *et* définie sur un compact ?

Par ailleurs, il me semble que la mesure du Cantor est nulle (et celui-ci n'est pas dénombrable)

[inviteb8113259]

La grande question, c'est qu'appelle tu "intégrable" ? Au sens de "on peut trouver une primitive", ou bien (ce qui est la vraie définition) "mesurable et dont l'intégrale est finie" ?

euhh.. pourquoi il y une differance entre "trouver une primitive"et "fonction dont lintégrale est finie?"??

[invite51f4efbf]

euhh.. pourquoi il y une differance entre "trouver une primitive"et "fonction dont lintégrale est finie?"??

Oui. L'exponentielle admet une primitive (elle-même), et son intégrale est manifestement infinie. Les contre-exemples sont foisonnants.

Tu sais que toute fonction continue admet une primitive, et il est assez évident que c'est une condition nécessaire (si une fonction admet une primitive, alors elle est la dérivée d'une fonction dérivable, elle est continue - c'est grossier mais ça passe).

Par contre, j'ai interprété ta question comme "est-ce que toute fonction (mesurable) dont l'intégrale est finie est continue (par morceaux)". La réponse dans ce cas semble donnée par , mais me semble valable seulement pour les fonctions définies sur un compact.

[inviteb8113259]

Oui. L'exponentielle admet une primitive (elle-même), et son intégrale est manifestement infinie. Les contre-exemples sont foisonnants.

ca veut dire quoi "integrale infinie"?? enfin si cest compliqué à comprendre ce n'est pas la peine de te déranger(jai des lacunes en maths ...)

[invite51f4efbf]

ca veut dire quoi "integrale infinie"?? enfin si cest compliqué à comprendre ce n'est pas la peine de te déranger(jai des lacunes en maths ...)

Ben tu intègres l'exponentielle de à . Tu le fais si tu veux en prenant la définition de l'intégrale que tu connais en calculant ton intégrale de à pour a > 0 puis tu fais tendre vers . Ca te donne l'infini.

En fait, le problème c'est qu'on jongle entre intégrale au sens de Riemann (qui se définit sur les compacts comme limite d'une somme sur des subdivisions puis se généralise en passant les bornes du compact à la limite) et intégrale au sens de Lebesgue, qui a un behavior différent

[inviteb8113259]

oui j'ai saisi maintenant.merci beaucoup pour ces informations!!

[inviteab2b41c6]

Stephen:
en effeit il faut également qu'elle soit définie sur un compact.

Cependant il n'y a pas l'équivalence entre "mesure nulle" et "dénombrabilité" il n'y a qu'une implication, et l'ensemble triadique de cantor en est un contre exemple.

[invite51f4efbf]

Stephen:
en effeit il faut également qu'elle soit définie sur un compact.

Ok, et pour la fonction que a définie ça marche encore parce qu'elle est intégrable d'intégrale nulle sur tout compact.

Cependant il n'y a pas l'équivalence entre "mesure nulle" et "dénombrabilité" il n'y a qu'une implication, et l'ensemble triadique de cantor en est un contre exemple.

C'était le sens de mon propos (il me semble que a affirmé que négligeable => au plus dénombrable)