problème

[invite37bcd439]

pour résoudre un problème physique, je cherche la courbe x=f(t) qui évolue selon: dx=exp(-x*dt)

merci d'avance

Rachid B
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[KerLannais]

Salut,

A ma connaissance cette écriture n'a pas de sens mathématique, et même intuitivement je ne vois pas bien étant donné que dx doit être un infiniment petit, -x*dt aussi et donc exp(-x*dt) doit être infiniment proche de 1 puisque exp est continue et que exp(0)=1, par suite dx devrait être à la fois infiniment proche de 0 et infiniment proche de 1 et on devrait avoir 0=1

[invite37bcd439]

desolé j'ai du faire une erreur, j'essaie de reformuler mon problème:

x(t)=x(0)*exp(-x(t)*t)

x(0)=1

c'est possible comme ça?
merci d'avance

[invite6acfe16b]

x(t)=x(0)*exp(-x(t)*t)

c'est possible comme ça?

Salut,

Tu es sûr de ne pas vouloir faire intervenir de dérivée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36d948ba]

Je pense qu'il voulait écrire :

[invite37bcd439]

oui c'est ça merci, je ne suis pas doué en formulation
x decroit au cours du temps, avec un taux proportionnel à la valeur de x à chaque instant

[KerLannais]

Re,

Il me semble que la traduction de

x décroit au cours du temps, avec un taux proportionnel à la valeurs de x à chaque instant

serait plutôt, si x prend des valeurs positives, qu'il existe une constante positive telle que

dont la solution est

c'est l'équation utilisée par exemple pour la désintégration de matière radioactive.
Mais bon je suppose que ce n'est pas ça sinon ce serait trop simple. Mettons que l'équation que tu veuilles résoudre soit:


avec une constante strictement positive fixée. Alors il est clair que x croit puisque sa dérivée est positive, je ne suis pas sûr que ce soit ce que tu voulais mais bon, comme x(0)=1, on a toujours et sur

est continue, globalement lipschitzienne par rapport à x uniformément en t (car elle est continûment différentiable par rapport à x et sa dérivée partielle est uniformément bornée en x et en t), d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz il existe une unique solution qui existe pour tout temps. Par contre on a pas forcément une formule explicite, mais on peut calculer ses valeurs grace à un ordinateur et un schéma numérique (dans ce cas c'est une simple equation différentielle ordinaire d'ordre 1, il y a beaucoup de schémas numériques qui peuvent convenir du simple schéma d'Euler au très à la mode schéma de Runge-Kutta RK4 qui est un peu moins simple et bien d'autres ...). Il y a également moyen de faire une étude qualitative, c-à-d montrer des propriétés théoriques vérifiées par la solution en se basant sur l'équation. Dans ce cas la solution est croissante il n'y a pas bcp de chose intéressante à dire, si ce n'est déterminer une enveloppe supérieure (une courbe majorante) et regarder la limite à l'infini si elle est finie ou non et sa valeur. En tout cas, on peut dire, comme la dérivée de x est décroissante, que la courbe de x est concave mais je ne sais pas si c'est utile.

[invite7c37b5cb]

Bonjour.
Changement de variable:

e^(tx)=y; x=lny/t; dx/dt=...

[invite37bcd439]

Salut

Re,


Citation:
c'est l'équation utilisée par exemple pour la désintégration de matière radioactive.

---->voilà c'est ça, sauf que lambda ne serait pas une constante mais serait proportionnel à x(t): moins il reste de matière, moins cela se désintègre vite. Ca se peut? désolé d'être confus.

je ne comprends pas pourquoi cette courbe serait croissante: je m'attends à x(0)=1 et x(infini)=0. Non ?

[invite0fb72cf8]

---->voilà c'est ça, sauf que lambda ne serait pas une constante mais serait proportionnel à x(t): moins il reste de matière, moins cela se désintègre vite. Ca se peut? désolé d'être confus.

Dans ce cas, il serait peut être plus approprié de considérer une équation du type:



Où est le taux de désintégration, et dépend de . Il reste donc à choisir une fonction avec les propriétés voulues. Par exemple:



semble convenir, et cela donne l'équadiff:



dont une solution serait

[invite37bcd439]

merci Ising
le résultat me plait: ça descend moins vite qu'une exponentielle avec le temps
je ne savais pas résoudre cette equadif