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* Réciproque * (3id Moubarak sa3id)



  1. #1
    A1

    Talking * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)


    ------

    Bonjour tout le monde !

    Je me demandais sur la réciproque du fait que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable .

    Il me semble que si elle est diagonalisable dans une base orthonormale alors elle est symétrique . Mais je n'arrive pas vraiment à le prouver . La matrice de passge est triangulaire supérieure certes , mais pas orthogonale-procédé de Schmidt ( je cherche à prouver que t(P) = (P)-1 ) .

    Merci de vouloir proposer une démonstration claire au cas où c'est vrai.

    ______________________________
    A1

    -----

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  4. #2
    rvz

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Soit une matrice réélle M diagonalisable dans une base orthonormale. Alors il existe une matrice O orthogonale telle que t(O)*M*O = D, avec D diagonale.
    Donc M = O *D*t(O) (Rappel : O*t(O)=t(O)*O=Id).
    Donc t(M)= t(O*D*t(O))=t(t(O))*t(D)*t(0) = O*D*t(O)=M car t(D)=D puisque D est diagonale.


    __
    rvz

  5. #3
    A1

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Salut rvz , mais la matrice : 1 1

    0 1

    est diagonalisable mais pas symétrique .

    Désolé , j'ai pas su comment bien écrire la matrice sans latex . En tout cas : ce sont deux uns dans la première ligne , 0 et 1 resp. dans la deuxième.
    _________________________
    A1
    Dernière modification par A1 ; 12/01/2006 à 22h56.

  6. #4
    GuYem

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    La réciproque est vraie quand la matrice est diagonalisable DANS UNE BASE ORTHONORMALE.

    Elle est fausse en général comme le montre ton contre exemple.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    A1

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Mais ou est l'erreur dans la démonstration de rvz ??

  9. #6
    matthias

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Il n'y en a pas je pense, il a bien pris une matrice diagonalisable dans UNE BASE ORTHONORMALE.

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  11. #7
    GuYem

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Il n'y a pas d'erreur.

    Il est parti d'une matrice diagonalisable DANS UNE BASE ORTHONORMALE (encore une fois en majuscule pour que tu le vois bien)

    La tienne ne l'est pas.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #8
    GuYem

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Citation Envoyé par matthias
    Il n'y en a pas je pense, il a bien pris une matrice diagonalisable dans UNE BASE ORTHONORMALE.
    lol eh bin si avec tout ça on la voit pas LA BASE ORTHONORMALE !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #9
    A1

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Si Si Je la vois très très bien les gars ...Mais je l'aurais mieux vue si c'était en italique !!

    Merci !!

    _______________
    A1

  14. #10
    rvz

    Re : * Réciproque * (3id Moubarak sa3id)

    Citation Envoyé par A1
    Salut rvz , mais la matrice : 1 1

    0 1

    est diagonalisable mais pas symétrique .

    Désolé , j'ai pas su comment bien écrire la matrice sans latex . En tout cas : ce sont deux uns dans la première ligne , 0 et 1 resp. dans la deuxième.
    _________________________
    A1
    Juste pour dire : La matrice que tu as écrite n'est pas diagonalisable. En effet, les valeurs propres étant 1 uniquement, si elle l'était, elle serait semblable à l'identité, et serait donc égale à l'identité...
    Mais si tu veux un exemple d'une matrice qui serait diagonalisable, mais pas symétrique, prends la matrice
    1 1
    0 2
    Elle est diagonalisable car elle a deux valeurs propres distinctes, et elle n'est manifestement pas symétrique.

    __
    rvz

    __
    rvz

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