la réciproque

[inviteed0e6f99]

Salut à tous!
j'aimerai savoir si la α^-1 de α:V → C² : xƒ₁ +yƒ₂ + zƒ₃ → (z+iy,x-iy) est tt simplement les flèches dans l'autre sens
soit α^-1 :C² → V : (z+iy,x-iy) → xƒ₁ ..

merci
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[inviteab2b41c6]

Je ne comprend pas tout, parce qu'il n'y a pas beaucoup d'informations, mais si a^-1 est bien une application alors oui c'est l'application réciproque.
Maintenant si c'est a^-1{A} alors c'est l'image réciproque de A avec A un ensemble quelconque, et a^-1 n'est pas une application dans ce cas là.

[invite48d4167a]

si j ai bien compris ton V est un sous espace vetorile engendre par les trois vecteur f¹ f² et f³ et α est la fonction :
α: V->C²
(x,y,z) ->(z+iy,x-iy)
alors dans ce cas ce que t a formule pour α-1 est fausse car les couples de C²ne
sont pas tous de la forme: (z+iy,x-iy), ta fonction n est pas inversible car non surjetive

[inviteab2b41c6]

En lisant le message de King_ae j'y vois plus clair. Cependant la justification ne me semble pas bonne, je pense que justement la fonction est surjective.
Tu as une fonction C-linéaire
a(x,y,z)=0 <-> z+iy=0 et x-iy=0 donc x=iy et z=-x est solution.
Ta fonction C linéaire n'est pas injective du tout, donc pas bijective...

a(i,-i,1)=a(0,0,0)=0
Par contre a est surjective...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48d4167a]

a(i,-i,1)=a(0,0,0)=0

tu montre que a est non injective

[inviteab2b41c6]

Oui c'est bien ce que j'ai dit.

La surjectivité est simple à montrer:

Soit W=(u,v) appartient à C²
Il suffit de poser z=Re(u) y=Im(u) et x=v+iy pour voir que tout élément W de C² est atteint par a.

[inviteed0e6f99]

merci
effectivement α est une application linéaire!
Mais α exp -1 qui est la reciproque ne l'est pas mais je cherche comment le justifier!
Mais est ce que l efait qu'elle ne soit pas bijective suffit pour dire que l'application n'est pas linéaire?

[inviteed0e6f99]

au fait qqn peut me donner une explication un peu simple d'une partie génératrice et d'une partie libre?

[inviteab2b41c6]

Je crois que tu mélanges tout là, une fonction est ou non bijective indépendemment de sa linéarité.

Une fonction admet une réciproque si et seulement si elle est bijective, c'est assez simple à démontrer, il suffit de se ramener aux théorèmes d'algèbres élémentaires suivants:

a est un élément inversible d'un anneau si et seulement si il l'est à gauche et à droite.

fg=h avec h une fonction injective implique que ....
fg=h avec h une fonction surjectie implique que ....


Pour ta 2e question:
une famille F est génératrice d'un espace vectoriel E (ou d'un ensemble E en général) si tout élément de E peut s'écrire comme combinaison d'éléments de E (le terme combinaison dépend de ce qu'est E, si c'est un espace vectoriel, c'est une combinaison linéaire, si c'est un groupe additif c'est une somme, si c'est un anneau c'est une somme est un produit etc...)

Une famille F est libre si aucun élément de F ne peut s'écrire comme combinaison des autres.
Autrement dit
a1f1+a2f2+a3f3+...+anfn=0 implique que a1=a2=a3=...=an=0
En effet sinon il existe un vecteur fp et un coefficient ap non nul qui vérifient:
fp=(a1f1+a2f2+...+anfn)/ap et dans ce cas fp est bien une combinaison des autres éléments de la famille.

[invite48d4167a]

Oui c'est bien ce que j'ai dit.

La surjectivité est simple à montrer:

Soit W=(u,v) appartient à C²
Il suffit de poser z=Re(u) y=Im(u) et x=v+iy pour voir que tout élément W de C² est atteint par a.

cela va etre vrai seulement si V est un C espace vectoriel, mais je crois vu qu on decompose les element en x+iy que c est un R espace vectoriel et donc on aur
W=(u+iv,m+in) dans C² alors la tu peut pas construire un elemnet dans V dont l image par a est W

[inviteed0e6f99]

merci!!!!!!!!

[inviteab2b41c6]

Oui je prenais ca par hypothèse, et tu prenais par hypothèse que V était un R-ev.
En fait on ne peut pas savoir si a est surjective tant qu'on ne sait pas ca.
Une chose est sure, a n'est pas injective, et donc pas bijective, quoiqu'il arrive.