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bijection et réciproque



  1. #1
    taladris

    bijection et réciproque


    ------

    Bonjour à tous!

    J'ai une question un peu bête sur les bijection:
    on sait que si est une bijection, alors il existe g telle que gof=IdE et fog=IdF.

    Inversement, si on a f: et g: telles que fog=IdF, peut-on en déduire automatiquement que fog=IdE et que f et g sont bijectives? En fait, je penses que non mais je n'arrives pas à trouver de contre-exemples simples.
    De plus, existe-t-il des conditions simples portant sur E et F ou sur f et g pour que ça marche? (il me semble que si E=F=IR, ça marche, non?)

    Bonne journée à vous

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : bijection et réciproque

    prends E={a} et F={b,c}
    f:E->F a|->b
    g:F->E b|->a c|->a
    alors gf=idE mais fg!=IdF

  4. #3
    martini_bird

    Re : bijection et réciproque

    Salut,

    tu peux néanmoins déduire de gof=IdE que f est injective, et g surjective.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    homotopie

    Re : bijection et réciproque

    Bonjour,
    j'ajoute mon grain de sel :
    2 cas assez triviaux pour lesquels une condition simple fonctionne :
    1) E et F finis et de même cardinal
    2) E et F e.v. de même dimension finie, f et g linéaires

    Quant au cas E=F=IR sans hypothèse de continuité sur f et g on construit aisément un contre-exemple à partir de celui d'Ambrosio IR=X U {a} IR=Y U {b,c} X et Y sont en bijection, on applique le contre-exemple d'Ambrosio sur a,, b et c.
    Si f et g sont continues, il me semble que oui il y a réciproque.
    fog=identité de IR donc, comme l'a si bien dit Martini-bird , g est injectif.
    g continue et injectif donc monotone g(IR)=I intervalle ]a;b[ avec a,b appartenant à IR U {+ et - infini}
    fog(]a,b[)=IR il existe une suite xn d'éléments de ]a,b[ telle que f(xn) converge vers + infini (Utiliser la monotonie de f|]a,b[ réciproque de g : IR ->]a,b[ pour se simplifier la vie)
    Une sous-suite de xn converge dans [a,b] mais la continuité de f impose que cela soit en a ou b, d'une part, et , d'autre part, que a ou b soit non fini.
    On procède de même avec une suite yn f(yn) converge vers -infini, on a encore a ou b non fini et ce ne peut pas être le même que le précédent (ça ne peut converger vers + et - infini en même temps à cause de la monotonie).
    Conclusion : {a,b}={+infini,-infini} et g est surjective donc bijective d'application réciproque f (unicité de l'inverse à gauche).
    A fignoler mais il me semble que cette démo fonctionne.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : bijection et réciproque

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    fog=identité de IR donc, comme l'a si bien dit Martini-bird , g est injectif.
    Pendant une seconde, j'ai cru que c'était ironique et que j'avais (encore) dit une bêtise...

    Mais pour le coup non !
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #6
    homotopie

    Re : bijection et réciproque

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Pendant une seconde, j'ai cru que c'était ironique et que j'avais (encore) dit une bêtise...

    Mais pour le coup non !
    Non, c'est parce que ton post m'a rappelé qu'en gros "la moitié" est déjà vraie et que dans quelques cas l'autre moitié moyennant quelques hypothèses se révèle aussi vraie.

    Sinon, un autre cas (trivial quand on connaît la théorie des groupes) :
    E, F groupes simples, F non réduit à {e}*, f et g morphismes de groupes.
    * l'hypothèse dans le post initial est fog=Id F

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  10. #7
    taladris

    Re : bijection et réciproque

    OK. Merci pour toutes ses précisions

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