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Bijection réciproque et suite implicite



  1. #1
    lazyboy

    Bijection réciproque et suite implicite


    ------

    Bonsoir,

    Soit la fonction f |---> x + lnx
    après avoir montré que f était une bijection de ]0;+oo[ sur R, on me demande de prouver que lim(y-->+oo)f^-1(y)=+oo Il y a t-il un théoreme qui me permet d'affirmer cela, ou dois-je passer par une série d'égalité (et appliquer eventuellement la fonction f..) ? Sachant que je ne dois pas calculer f^-1 du tout!

    Autre partie de l'exercice:
    après avoir montré que f(x)=n (n€N), n'admet qu'une unique solution notée Un, on me demande de montrer que la suite Un est monotone, qu'elle diverge vers +oo etc. (j'ai bien pensé à passer par une récurrence en vain! Ensuite, j'ai pensé à montrer que si Un+1>Un, alors cela impliquait que n+1>n donc la propriété était vraie, mais je ne sais pas si cela marche...)
    Je le vois très bien, mais je ne sais pas comment l'expliquer, si quelqu'un pourrait m'aiguiller à l'aide de théoreme, ou d'une méthode quelconque, je serais preneur!

    Merci beaucoup, bonne soirée!


    -----

  2. #2
    indian58

    Re : Bijection réciproque et suite implicite

    Utilise le fait que f est strictement croissante.

  3. #3
    lazyboy

    Re : Bijection réciproque et suite implicite

    J'ai écris:
    On suppose que Un<Un+1
    alors f(Un)<f(Un+1) car f est croissante
    c a d n<n+1
    ce qui est juste, donc on a bien Un croissante...
    mais j'ai l'impression d'inverser la démonstration en faisant ça, car c'est comme si j'avais démontré:
    Un<Un+1 => n<n+1 or moi je veux l'autre sens, mais à ce moment là, jdois passer par la bijection réciproque....que je n'ai pas déterminé!

    Quand tu me dis d'utiliser le fait que f est croissante, tu parles pour quelle question? parce que je vois bien qu'à un moment je dois l'utiliser, mais je bute...

  4. #4
    indian58

    Re : Bijection réciproque et suite implicite

    Citation Envoyé par lazyboy Voir le message
    J'ai écris:
    On suppose que Un<Un+1
    alors f(Un)<f(Un+1) car f est croissante
    c a d n<n+1
    ce qui est juste, donc on a bien Un croissante...
    mais j'ai l'impression d'inverser la démonstration en faisant ça, car c'est comme si j'avais démontré:
    Un<Un+1 => n<n+1 or moi je veux l'autre sens, mais à ce moment là, jdois passer par la bijection réciproque....que je n'ai pas déterminé!

    Quand tu me dis d'utiliser le fait que f est croissante, tu parles pour quelle question? parce que je vois bien qu'à un moment je dois l'utiliser, mais je bute...
    En fait, puisque f est croissante, sa réciproque l'est aussi.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    lazyboy

    Re : Bijection réciproque et suite implicite

    et adopte-telle le même comportement sur le même intervalle? je veux parler de son comportement aux bornes de cet intervalle, en particulier...

    Est ce que ma demonstration est valide:
    soit un intervalle I, et une fonction f qui réalise une bijection de I sur F
    soit (x,y)€I²
    x<y
    f(x)<f(y) car f est croissante sur I
    f^-1(f(x))<f^-1(f(y))
    car f^1(f(x))=x et f^-1(f(y))=y et x<y
    donc f^-1 est croissante sur F
    Dernière modification par lazyboy ; 10/12/2007 à 20h26.

  7. #6
    lazyboy

    Re : Bijection réciproque et suite implicite

    est ce que si je dis :
    lim f^-1 (f(x))=lim x = +oo
    x->+oo x->+oo

    or lim f(x)=+oo
    x->+oo

    donc on peut écrire lim f^-1(y)=+oo
    y->+oo


    cela marche???

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