Bijection réciproque et suite implicite

[invite563835f6]

Bonsoir,

Soit la fonction f |---> x + lnx
après avoir montré que f était une bijection de ]0;+oo[ sur R, on me demande de prouver que lim(y-->+oo)f^-1(y)=+oo Il y a t-il un théoreme qui me permet d'affirmer cela, ou dois-je passer par une série d'égalité (et appliquer eventuellement la fonction f..) ? Sachant que je ne dois pas calculer f^-1 du tout!

Autre partie de l'exercice:
après avoir montré que f(x)=n (n€N), n'admet qu'une unique solution notée Un, on me demande de montrer que la suite Un est monotone, qu'elle diverge vers +oo etc. (j'ai bien pensé à passer par une récurrence en vain! Ensuite, j'ai pensé à montrer que si Un+1>Un, alors cela impliquait que n+1>n donc la propriété était vraie, mais je ne sais pas si cela marche...)
Je le vois très bien, mais je ne sais pas comment l'expliquer, si quelqu'un pourrait m'aiguiller à l'aide de théoreme, ou d'une méthode quelconque, je serais preneur!

Merci beaucoup, bonne soirée!


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[indian58]

Utilise le fait que f est strictement croissante.

[invite563835f6]

J'ai écris:
On suppose que Un<Un+1
alors f(Un)<f(Un+1) car f est croissante
c a d n<n+1
ce qui est juste, donc on a bien Un croissante...
mais j'ai l'impression d'inverser la démonstration en faisant ça, car c'est comme si j'avais démontré:
Un<Un+1 => n<n+1 or moi je veux l'autre sens, mais à ce moment là, jdois passer par la bijection réciproque....que je n'ai pas déterminé!

Quand tu me dis d'utiliser le fait que f est croissante, tu parles pour quelle question? parce que je vois bien qu'à un moment je dois l'utiliser, mais je bute...

[indian58]

J'ai écris:
On suppose que Un<Un+1
alors f(Un)<f(Un+1) car f est croissante
c a d n<n+1
ce qui est juste, donc on a bien Un croissante...
mais j'ai l'impression d'inverser la démonstration en faisant ça, car c'est comme si j'avais démontré:
Un<Un+1 => n<n+1 or moi je veux l'autre sens, mais à ce moment là, jdois passer par la bijection réciproque....que je n'ai pas déterminé!

Quand tu me dis d'utiliser le fait que f est croissante, tu parles pour quelle question? parce que je vois bien qu'à un moment je dois l'utiliser, mais je bute...

En fait, puisque f est croissante, sa réciproque l'est aussi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite563835f6]

et adopte-telle le même comportement sur le même intervalle? je veux parler de son comportement aux bornes de cet intervalle, en particulier...

Est ce que ma demonstration est valide:
soit un intervalle I, et une fonction f qui réalise une bijection de I sur F
soit (x,y)€I²
x<y
f(x)<f(y) car f est croissante sur I
f^-1(f(x))<f^-1(f(y))
car f^1(f(x))=x et f^-1(f(y))=y et x<y
donc f^-1 est croissante sur F

[invite563835f6]

est ce que si je dis :
lim f^-1 (f(x))=lim x = +oo
x->+oo x->+oo

or lim f(x)=+oo
x->+oo

donc on peut écrire lim f^-1(y)=+oo
y->+oo


cela marche???