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Bijection réciproque



  1. #1
    YABON

    Bijection réciproque


    ------

    Salut,
    dans un exo je dois montrer que :
    l'application f qui va de R² dans R² et tel qu'à (x,y) elle associe f(x,y)=(x+y,x-y) est bijective et je dois donner l'expression de sa réciproque.
    Je ne comprends pas ce que f(x,y)=(x+y,x-y) signifie, f(x) je comprends mais f(x,y) ?

    Une autre question, j'ai h(z)= (z-i)/(z+i) et je dois donner h^-1, mais j'arrive pas a isoler z...

    Merci

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Bijection reciproque

    Bonjour.

    Peut-être qu'en l'écrivant comme ça c'est plus clair:

    f: (x,y) -> (x+y,x-y)

    (f qui à un couple (x,y) de IR² associe un autre couple de IR²).

    Quand on te demande l'application réciproque, tu te donnes un couple (X,Y) quelconque de IR², et tu essayes de chercher (x,y) (en fonction de X et Y) tels que x+y=X et x-y=Y.


    Pour la deuxième, fais un produit en croix, factorise par z, et exprime le en fonction de h(z).

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    YABON

    Re : Bijection reciproque

    Merci pour les explications.
    donc dans ça :f: (x,y) -> (x+y,x-y)
    le x et dans la partie de gauche n'est pas égal au x de la partie de droite ?
    C'est ça qui me turlupinait mais je pense comprendre qu'ils sont différents

  4. #4
    Syracuse_66

    Re : Bijection reciproque

    Si.
    Ce qu'a dit Ledescat, c'est qu'on pouvait aussi écrire : f: (x,y) de IR² -> (X,Y) de IR² avec X = x+y et Y = x-y
    Pour montrer que f est bijective (donc que existe), il faut montrer que f est à la fois injective et surjective.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    YABON

    Re : Bijection reciproque

    C'est bien X=x+y et non x=x+y donc le x de gauche n'est pas le même que celui de droite, non ?

  7. #6
    Ledescat

    Re : Bijection reciproque

    Citation Envoyé par YABON Voir le message
    C'est bien X=x+y et non x=x+y donc le x de gauche n'est pas le même que celui de droite, non ?
    Le x dans "x+y" est le même que celui de gauche !

    Quelle est l'image de (5,12) par f selon toi ?
    Cogito ergo sum.

  8. #7
    YABON

    Re : Bijection reciproque

    ah ok, dans ce cas je dirais (17;-7)

  9. #8
    YABON

    Re : Bijection reciproque

    Encore une question
    Soit le plan euclidien P et soit D une droite de P. On considere la projection orthogonale de Pd sur la droite D.

    On considere l'application de Pd comme une application de P dans P. Cette application es elle alors surjective ? Injective ?

    En fait on projete tout le plan sur une droite qui lui appartient. Apres on regard l'ensemble d'arrivée, ici P, pour voir combien les éléments de P ont d'antécédants par l'application Pd. Mais du fait que ce plan ait été projeté sur la droite il se reduit, après l'application, à la droite puisque tout les points du plan sont maintenant sur cette droite, donc l'ensemble d'arrivée est aussi D.
    Mais il y'a la même question ensuite ou on me dit là que Pd est une application de P dans D.
    C'est donc que j'ai dit n'importe quoi précédemment sinon les questions reviennent à la même chose.
    Alors où ai je faux svp ?

    Merci

  10. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : Bijection réciproque

    salut,

    révise un peu la terminologie de la théorie des ensembles: je crois que tu confonds "image" et "ensemble d'arrivée". L'image de ta projection est D, l'ensemble d'arrivée est P dans la première question et D ensuite.

  11. #10
    YABON

    Re : Bijection réciproque

    révise un peu la terminologie de la théorie des ensembles
    Ca me dit rien du tout...

    je crois que tu confonds "image" et "ensemble d'arrivée"
    Je vois pas la différence en fait, l'ensemble d'arrivée c'est bien là où sont les images ?

  12. #11
    Zébule

    Re : Bijection réciproque

    Citation Envoyé par YABON Voir le message
    Je vois pas la différence en fait, l'ensemble d'arrivée c'est bien là où sont les images ?
    Oui mais ce n'est pas ton image. L'image (directe) de ton application c'est l'ensemble des images des points de ton ensemble de départ par cette application, mais s'il est inclus dans l'ensemble d'arrivée, il ne lui est pas forcément égal (tu pourras d'ailleurs trouver de très nombreux contre-exemples).

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