Questions d'Algèbre

invite4af5c33a · 08/06/2006, 16h41

Bonjour,

Bien les exams approchent et je révise un peu... j'ai réussi à dégoter un sujet de l'année dernière mais malheureusement sans corrigé donc si vous pourriez m'éclairer sur 2 petites choses ca serait vraiment sympathique ^^

1)

Soit E un EV de dimension 2 et $\text{[math]}$ une base de E. On démontre que $\text{[math]}$ est une base de E également.

Soit $\text{[math]}$ application linéaire de matrice

$\text{[math]}$

donner A' matrice de f dans B'.

Etrangement je trouve exactement la même matrice... aurais-je fais une erreur?

2)

Autre chose, comment trouver aisément un supplémentaire? Imaginons que je sois sur $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et que je souhaite trouver un supplémentaire de F, comment faire? je suis perdu :/ je remarque que si je rajoute X à mes deux vecteurs j'obtiens une base mais après?

D'avance, merci =)

invited9d78a37 · 08/06/2006, 17h54

Soit E un EV de dimension 2 et $\text{[math]}$ une base de E. On démontre que $\text{[math]}$ est une base de E également.

en fait tu as la matrice de passage de la base B a B'
$\text{[math]}$

donc pour $\text{[math]}$
donc tu vois ce qui te reste a faire!!

pour ton deuxieme exos tu as $\text{[math]}$ qui est de dimension 3. or tu vois que F a deux vecteurs comme base donc il faut trouver un supplementaire cad qu'il faut trouver un espace F'
pour qu'on est
$\text{[math]}$ =F+F'

tel que sa base de vecteur $\text{[math]}$ puisse donner $\text{[math]}$ libres.
si tu ne comprends pas tout pose des questions

si il ya des erreurs il faut aussi me corriger

invite4af5c33a · 08/06/2006, 18h17

Hmm pour la matrice de passage je croyais que c'était la matrice de l'indentité de E par f ? Comment être sûr que ce soit celle donnée, sans savoir ce que fait réellement f ?

Je vais me repencher encore là dessus ^^

invited9d78a37 · 08/06/2006, 21h55

Envoyé par Xunkar

Hmm pour la matrice de passage je croyais que c'était la matrice de l'indentité de E par f ? Comment être sûr que ce soit celle donnée, sans savoir ce que fait réellement f ?

je ne comprend pas ton raisonnement??d'ailleurs j'ai fait une double erreur,ce que j'ai ecris c'est la matrice de passage de B' dans B
$\text{[math]}$
donc
la matrice de passage de B dans B' doit verifier:
$\text{[math]}$
et tu as meme $\text{[math]}$
va falloir inverser avec la matrice compagnon ca se fait vite!!

a part ca ta matrice de passage ne depend que de tes bases et pas de la fonction et ce n'est pas utile de la multiplier par la matrice identité.
tu exprimes les coordonnées d'une base dans une autre
$\text{[math]}$ tu peux verifier ce que je dis avec les vecteurs unitaires $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ du debut et tu veras ca marche impeccable.

apres tu peux faire ca avec les applications
$\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite35452583** · 08/06/2006, 22h19

En posant v1=u1+3u2 v2=-u1-u2, on a
f(v1)=7u1=(-7/2)(v1+3v2)
on ne retombe donc pas sur la même matrice.

Pour le supplémentaire, par propriété des dimensions tu as dim(F')=dim(E)-dim(F)=1
il suffit donc de trouver un vecteur qui n'est pas dnas F ce que tu as fait, F'=<X> convient

invited9d78a37 · 08/06/2006, 23h39

encore une erreur ,

voila
$\text{[math]}$
etpis ma methode est longue et peu subtile....
celle d'homotopie est largement plus pratique(dois je vous appeler maitre

??)
en fait tu exprimes f(v1) et f(v2) dans la base v1 et v2.

ca se sent que j'ai arreté l'algebre depuis un semestre!!!faut que je rafraichisse tous ca!!

invite4af5c33a · 09/06/2006, 13h11

Merci à vous deux c'est très clair =)

invitec314d025 · 09/06/2006, 15h40

Envoyé par chwebij

$\text{[math]}$

Oui là c'est bon. Par contre la matrice de passage que tu as décrite dans ton message précédent semble avoir subi une transposition assez incongrue

Envoyé par chwebij

etpis ma methode est longue et peu subtile....
celle d'homotopie est largement plus pratique

C'est clair qu'en dimension 2 (et même 3), il est souvent plus rapide de faire le calcul directement. Mais la méthode que tu as présentée avec les matrices de changement de base est importante à maîtriser d'un point de vue conceptuel. Donc pas de regret

invited9d78a37 · 09/06/2006, 16h37

Envoyé par matthias

Oui là c'est bon. Par contre la matrice de passage que tu as décrite dans ton message précédent semble avoir subi une transposition assez incongrue

plait -il??

invitec314d025 · 09/06/2006, 17h07

Laisse tomber, j'ai du prendre une substance hallucinogène non identifiée, ou alors je me suis temporairement retrouvé dans un monde parallèle suite à une brêche dans l'espace-temps, à moins que mon écran n'ait inversé l'image une fraction de seconde ...
En cherchant bien, je finirai par trouver une explication crédible à ce que j'ai écrit

invite4af5c33a · 09/06/2006, 21h16

Bah finalement j'ai fais les deux méthodes et je trouve la même réponse à savoir :

$\text{[math]}$

quelqu'un pour confirmer / infirmer svp?

invitec314d025 · 09/06/2006, 21h59

Non tu as du faire une erreur. Déjà, tes deux matrices n'ont pas le même déterminant, ce qui n'est pas bon signe.

invitec6be2a63 · 09/06/2006, 22h17

Désolé je suis un peu hors sujet mais vous m'excuserez lol!

Commes vous avez fait pour écrire A_B=(matrice) ? et surtout compment avez vous fait pour la police du B ?

invitea7fcfc37 · 09/06/2006, 22h30

Envoyé par mlatocca

Désolé je suis un peu hors sujet mais vous m'excuserez lol!

Commes vous avez fait pour écrire A_B=(matrice) ? et surtout compment avez vous fait pour la police du B ?

Un p'tit tour par là

invite4af5c33a · 09/06/2006, 23h21

hmm..

bon j'expose mon raisonnement :

$\text{[math]}$ et par linéarité de f, $\text{[math]}$

de même $\text{[math]}$

en suite je cherche à exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ sachant que

$\text{[math]}$ je trouve $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

ainsi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'où ma matrice.

Par la seconde méthode, si j'appelle P la matrice de passage de B' à B alors ma matrice $\text{[math]}$ sachant que

$\text{[math]}$

ainsi

$\text{[math]}$

en faisant les multiplications je retombe sur la matrice citée dans le post précédent. Où seraient mes erreurs ? :/

Sans ca, le déterminant d'une matrice est toujours le même quelque soit les bases?

invitec314d025 · 09/06/2006, 23h43

Envoyé par Xunkar

$\text{[math]}$

Ton 7/2 s'est transformé en 1/2 dans ta matrice. Ce n'était peut-être qu'une coquille.

Envoyé par Xunkar

Sans ca, le déterminant d'une matrice est toujours le même quelque soit les bases?

Oui, puisque det(PAP^-1) = det(P)det(A)det(P^-1) = det(A).
On peut donc parler du déterminant d'un endomorphisme, puisque ça ne dépend pas de la base.
La trace aussi est conservée par un changement de base, c'est un moyen encore plus simple de vérifier que l'on a pas fait d'erreur.

invitec314d025 · 10/06/2006, 00h00

Envoyé par Xunkar

Sans ca, le déterminant d'une matrice est toujours le même quelque soit les bases?

Au fait, j'ai oublié de préciser, on ne peut pas dire ça comme ça. Si tu changes de base, tu changes de matrice.

Soit on dit que le déterminant de la matrice associée à un endomorphisme dans une base est égal au déterminant de la matrice associée au même endomorphisme dans une autre base, soit on dit que les déterminants de deux matrices équivalentes sont égaux, ce qui est la même chose (ou alors on parle directement de déterminant de l'endomorphisme).

invited9d78a37 · 10/06/2006, 00h01

je vais repondre a ta derniere question, on a
$\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$ une matrice de passage
$\text{[math]}$
avec ca on a $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
on a alors $\text{[math]}$

pour ta matrice tu nous avais donné

$\text{[math]}$

or quand tu donnes

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

tu sembles te contredire
soit c'est une faute de frappe soit..j'en sais rien

donc la matrice est

$\text{[math]}$

invite4af5c33a · 10/06/2006, 11h14

aie !

faute de frappe de ma part au temps pour moi. La matrice que j'obtiens est donc

$\text{[math]}$

C'est vite fait une typo en LaTeX

Dans ce cas ca marche non?

Et sinon auriez-vous des exercices sur les matrices et applications linéaires svp ? (niveau L1)

invite4af5c33a · 11/06/2006, 10h22

Je réitère ma question

: auriez-vous des exercices sur les matrices et applications linéaires svp ? (niveau L1)

Merci d'avance

invited9d78a37 · 12/06/2006, 22h41

ca serait plus facile que tu ailles chercher ti=oi meme des exos ds des bouquins puis tu nous les soumet si tu as des difficultées !!!
bonne chance

invite3da4d62b · 28/10/2006, 16h44

Envoyé par Xunkar

Bah finalement j'ai fais les deux méthodes et je trouve la même réponse à savoir :

$\text{[math]}$

quelqu'un pour confirmer / infirmer svp?

T'es overpwned !!!!

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