exercice d'algebre

[invite7c294408]

Un exercice qui me trotine dans la tete, pour ceux qui ont fait de l'algebre, l'anneau M2(R) contient deux ideaux bilateres: la matrice identite et M2(R) mais ce n'est pas un corps. Effectivement je suis d'accord que ce n'est pas un corps. Il suffit de trouver une matrice non-inversible...mais comment montrer que cet anneau contient que deux ideaux bilateres? Je suis un peu bloque. Comment decrire un ideal de M2(R)? Un ideal I (contenant i) d'un anneau A (contenant a ) est tel que ia resp. ai (si bilatere) appartient a I, n'est ce pas? Si on exclut M2(R) et la matrice identite , que reste t'il? Des sous ensembles de M2(R), des scalaires. Mais comment montrer que de tels ensembles ne peuvent pas etres des ideaux bilateres de M2(R)? Suffit-il de faire une disjonction de cas en regardant le resultat avec des matrices triangulaires, diagonales et contenant qu'un element? Ce qui me concerne c'est qu il y a "plein" de sous ensembles de M2(R). Comment tous les eliminer?

Je sais, je demande beaucoup mais J'ai remarque qu'il y avait plein d'etres intelligents sur ce forum et j'ai pense que peut-etre 'lun de vous pourrait eventuellement venir a la rescousse....

Je vous remercie d'avance
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[GuYem]

Il me semble que tu n'es pas trés clair sur la définition d'un idéal (bilatère). Un idéal I c'est un truc qui "mange" tout en ce sens que si M est dans I et A est dans M2(R) alors AM et MA retombent dans I.

(Ici c'est pour un idéal bilatère, pour un idéal à gauche on ne demandera que AM dans I, pour un idéal à droite on ne demandera que MA dans I)

Maintenant es-tu sur que dans M2(R) il n'y a pas d'autres idéaux bilatère que {id} et M2(R) ou alors était-ce jsute une question que tu te posais?

[invite7c294408]

ok merci de ta reponse.

En fait l'exo a pour but de motrer que l' equivalence

ideal bilatere = 1(A) ou A ssi Anneau = corps

ne marche que dans le cas ou A est commutatif. M2(R) etant non-commutatif, bien qu'il ait deux ideaux bilateres 1 et A, ce n'est pas un corps.

[GuYem]

EDIT : oublie j'ai mal lu

Donc si tu montres que M2(R) n'a que ces deux idéaux bilatères triviaux tu as trouvé un contre exemple et tu es content...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c294408]

d'accord mais le probleme est que je n'arrive pas a montrer que M2(R) ne possede d'autres ideaux bilateres que les deux ideaux triviaux.
Est-ce que j'ai mal compris la question?

[GuYem]

Tu as bien compris la question. Je ne vois pas pour le moment comment démontrer que M2(R) n'a pas d'autres idéaux que les deux triviaux.
Es-tu sur de ce résultat? Je veux dire il y a peut-être d'autres contre exemples...

[invite7c294408]

C'est dans un polycopie donc c'est fort possible qu'il y ait une erreur dans l'exercice. D'un autre cote, c'est le polycopie d'un prof qui s'appelle Broue a Paris VII, et je crois qu'il est assez balaise dans son domaine...D'un cote cet exercice ne parait pas insurmontable, vu que
, a priori, ce n'est qu' un contre-exemple, mais de l'autre cote je toruve la question tres ambigue. S'agit il de montrer que M2(R) n'a que deux ideaux, qui par la tuie sont bilateres, ou alors de montrer que les seuls ideaux de M2(R) qui sont bilateres sont I et A. Voix tu mon dilemme? D'un cote il faut exclure TOUS les ideaux, de l'autre on n' a qu'a supposer un ideal ( A et I exclus) bilatere et de toruver une contradiction. Dans les deux cas, je n' aboutis pas a une conclusion....

[GuYem]

Bon alors si c'est l'énoncé qui demande de montrer que M2(R) n'a que deux idéaux bilatères c'est qu'il faut le croire! Je me demandais juste si le conte exemple venait de toi ou si il étaité déjà dans l'énoncé.

Tu sembles un peu confu en effet, il suffit de montrer que les seuls idéaux bilatères de M2(R) sont {Id} et M2(R) lui même. Ainsi tu auras trouvé un anneau qui ne vérifie pas l'équivalence à démontrer. Justement parce que il est non commutatif.

[invite7c294408]

je veux bien le croire mais ca m'enerve quand-meme. Pourquoi M2(R) n'aurait-il que les deux ideaux bilateres...Je ne vois pas comment ca marche un ideal dans M2(R). Par la je veux dire que autant pour un anneau comme Z c'est facile de voir que les ideaux sont les nZ, autant M2(R) je n'y arrive pas.

[GuYem]

moi non plus pour le moment!
T'en fais pas ça va venir, il y a bien quelqu'un sur ce forum qui sait.

[invite7c294408]

merci de ton aide. C'est chouette de pouvoir chatter sur les maths. Je viendrai plus souvent. A+

[inviteca3a9be7]

Salut,

C'est un résultat général : en dimension finie les seuls idéaux bilatères I de Mn(K) sont l'idéal nul et Mn(K) lui-même :

En mutipliant à droite et à gauche par des matrices "bien choisies", montre que I != 0 contient une matrice de rang 1. Et donc toutes les matrices de rang 1 et donc toutes les matrices.

Si tu t'en sors pas avec ces indices, je te donnerai plus d'infos mais ça devrait suffire

[GuYem]

En lisant l'indice de µµtt je me suis rendu compte que je disais une grooooosse bitise!

{Id} n'a jamais été un idéal de Mn(K), c'est même pas un sous anneau

[invite5857d68c]

Excusé moi, juste pr savoir, vous faites quelles études, vous êtes en quoi?
Merci d'avance!

[invite7c294408]

oui, pardon. J'ai dit {id} mais en fait c'etait {0}. Pardonnez moi cette confusion!
uutt,
c'est quoi cette histoire de matrices de rang 1. Peux tu m'en dire plus?

[invite7c294408]

Dragonices,

Moi, il y a longtemps que je ne fais plus de maths...bien malheureusement! Mais comme tu vois, cela ne m'empeche pas de me poser des questions.
Cet exercice est un exercice d'algebre de niveau licence/ maitrise voire math spe.
Est-ce que tu as etudie un peu les groupes et les anneaux?

[GuYem]

Salut,

C'est un résultat général : en dimension finie les seuls idéaux bilatères I de Mn(K) sont l'idéal nul et Mn(K) lui-même :

En mutipliant à droite et à gauche par des matrices "bien choisies", montre que I != 0 contient une matrice de rang 1. Et donc toutes les matrices de rang 1 et donc toutes les matrices.

Si tu t'en sors pas avec ces indices, je te donnerai plus d'infos mais ça devrait suffire

Je prends une matrice non nulle de I, je la multiplie par ce qu'il faut à gauche et a droite pour en faire une matrice avec que des 0 et un seul coeff non nul. Cette matrice creuse est encore dans I et elle est de rang 1.

Puisque deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang, I contient toutes les matrices de rang 1 car il est bilatère.

Maintenant je ne vois pas comment "remonter" à toutes les matrices de Mn(K). D'ailleurs je trouve ça un peu dommage d'avoir sauté directement du rang k de ma matrice de départ au rang 1.
En adaptant un poil cela on montre que toutes les matrices de rang <= au rang de la matrice de départ sont dans I. Mais pour celles de rang supérieurs..?

Un autre indice µµtt ?

[Quinto]

Si tu montres que I contient toutes les matrices de rang 1, elle contient en particulier les matrices Eii, donc leur somme, non?

[GuYem]

C'est bien vu ça Quinto, merci.

Encore une fois j'avais zappé qu'un idéal c'est avant tout un sous anneau donc stable par somme... Trop l'habitude de travailler dans des sous-groupes de GL_n :-/

[Quinto]

Attention, un idéal n'est surtout pas un sous anneau!
D'ailleurs les seul idéaux qui soient sous anneau sont les idéaux triviaux.

[GuYem]

ooohlala merci de me ramener à la réalité!

Un ideal est avant tout un sous groupe du groupe additif de l'anneau, j'ai bon?

[Quinto]

Un idéal est un sous groupe additif et mange les multiplications.
En fait c'est construire pour définir un anneau A/I dont I serait évidemment le neutre.

Mettons nZ est un idéal parce que pour n'importe quel k dans A, nk est dans I.
En fait ça mange les éléments de A par multiplication. (C'est donc plus fort qu'être simplement stable par produit)
A+

[invite5857d68c]

ok merci pr ta réponse