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exercice d'algebre



  1. #1
    rafamu

    exercice d'algebre


    ------

    bonjour

    j'ai un exercice ou je bloque dès la seconde question
    si vous pouvez m'aider ce serais sympa
    voici l'énoncé:

    [ Cet exercice sera d'abord traité dans le plan cartésien euclédien (v=a+ib , p=r+is , z=x+iy écrits en coordonnées v=(a,b),p=(r,s),z=(x,y)...)pui s en notation complexe.]

    Soit v different de 0 un vecteur non nul et p un point du plan complexe.

    - 1/ prouver que z est sur la droite d orthogonale à v passant par p si et seulement si <v,z>=<v,p>.

    Soit v=3+4i, u=4-3i, p=2+i, p'=1+8i:
    - 2/ déterminer ainsi des équations des droites d et l passant par p et orthogonales à v et u et des droites d',l' passant par p' et orthogonales à v et u.
    - 3/ de ces équations déterminer si d et d' (resp.l et l')se coupent.Le résultat était il attendu?
    - 4/ déterminer les points communs à d et l' d'une part et à l et d' d'autre part.

    - 5/ soit m un point du plan complexe.Prouver qu'il y a un unique réel t tel que, si h=m+tv on a <v,h>=<v,p>.
    - 6/ donner la valeur de t et de |h-m|
    - 7/ prouver que si <v,z>=<v,p> alors <h-m,z-h>=0
    - 8/ prouver que si z est sur la droite d alors |z-m|²=|z-h|²+|h-m|² supéreur ou égal à|z-h|²

    ______________________________ ______________________________ ______________________________ ___________
    ce que j'ai réussi a faire :

    1:<v,z>=<v,p> donc <v,z>-<v,p>=0 d'ou ||vz||-||vp||=|v|-|vp|=0 donc on a z-v+v-p=0 dc z=p dc z est sur la droite p (je ne suis pas sur a 100% de ce que j'ai fait)

    2:je n'arrive pas a trouver une méthode pour pouvoir calculer ces équation avec les complexes de u et v et celui de p

    5:je pense qu'il faut utiliser cela:soit z et z' 2 complexes tq det(z,z')=0 alors z et z' sont colinéaires donc il existe un réel t tel que z'=tz


    MERCI de votre aide

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : exercice d'algebre

    1) z est sur la droite d orthogonale à v passant par p si et seulement si le vecteur z-d est orthogonal à v i.e <z-p,v> = 0 i.e. <z,v> = <p,v>.

    2) ben, tu utilises le 1) en calculant les produits scalaires.

    3)
    Analyse : s'il existe un tel t alors <v,h> = <v,p> <=> <v,m> + t<v,v> = <v,p>
    <=> t*|v|² = <v,p-m> <=> t = <v,p-m>/|v|² car v non nul. Donc t, s'il existe est unique.
    Synthèse : montrons réciproquement que t = <v,p-m>/|v|² convient. En remontant les calculs précédents on voit que ce t convient.

    Donc, il existe bien un unique t vérifiant les conditions demandées.

  4. #3
    rafamu

    Re : exercice d'algebre

    merci mais dans la reponse 1 tu met à v i.e <z-p,v> = 0 i.e. <z,v> = <p,v> . je ne comprend pas ce que ve dire i.e

  5. #4
    rafamu

    Re : exercice d'algebre

    et dans la 2 tu calcule les produits scalaires de U et V ? mais avec cela comment trouver l'équation de d passant par p?

  6. #5
    indian58

    Re : exercice d'algebre

    1) i.e. signifie c'est-à-dire

    2) tu veux déterminer l'équation de la droite d passant par p et orthogonale à v?

    M (x,y) appartient à cette droite si et seulement si <v,z> = <v,p> d'après 1)
    i.e. ax+by=<v,p> avec v de coordonnées (a,b). La voilà ton équation!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rafamu

    Re : exercice d'algebre

    désolé mais tu peut pas me faire le calcul pour une équation car je n'y arrive pas
    Merci

  9. Publicité
  10. #7
    indian58

    Re : exercice d'algebre

    Je l'ai fait : tu notes (a,b) les coordonnées de v. Alors un point M de coordonnées (x,y) (coordonnées a priori quelconques et tu cherches une relation entre x et y) vérifie <v,M> = <v,p> i.ec <v,p> = ax+by. <v,p> est un réel contant. Donc ton équation est ax+by= <v,p>.


    Dsl mais je ne peux pas faire plus simple.

  11. #8
    rafamu

    Re : exercice d'algebre

    oui je suis d'accord mais comment trouve tu la valeur de a et b ?

  12. #9
    rafamu

    Re : exercice d'algebre

    par exemple si v(2,3) et m(4,2)
    on a ax+by=2*4 + 3*2 = 13
    L'équation est donc ax+by=13 c'est ça ?

  13. #10
    indian58

    Re : exercice d'algebre

    Citation Envoyé par rafamu Voir le message
    par exemple si v(2,3) et m(4,2)
    on a ax+by=2*4 + 3*2 = 13
    L'équation est donc ax+by=13 c'est ça ?
    Ouais mais c'est p(4,2).

  14. #11
    rafamu

    Re : exercice d'algebre

    d'accord merci bien

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