Bonjour, voici l'exo:
f un endomorphisme tq (id,f,f²,...,f^p) soit une famille libre. Montrer qu'il existe un vecteur x tel que la famille :
(x,f(x),...,f^p(x)) soit libre. Je sais ne pas etre en mesure de resoudre l'exo, je voudrais juste une correction pour pouvoir travailler dessus, donc si vous avez un lien c'est open bar...
Merci.
Salut,
Quel est ton niveau ? Il n'est pas très dur... Il faut bien écrire ce qu'est une famille libre, et raisonner par l'absurde.Je sais ne pas etre en mesure de resoudre l'exo
je suis en MP . Mais par ta methode on m'a dit que ca ne marchait pas car les scalaires définis pour la liberté de la premiere famille ne sont pas forcément les memes que pour la 2eme...(jespere qu'on me comprend)Envoyé par Coincoin
Bon effectivement, je vois parfaitement, j'ai pas assez réfléchi...
Bonjour,
une preuve pour caractéristique (K)=0 (je ne suis pas sûr que le théorème soit vrai en caractéristique fini) et dim(E) fini (ça ce n'est pas indispensable à ma connaissance mais j'ai la flemme d'améliorer la preuve). Preuve que je ne trouve pas très élégante mais assez simple.
Ce qui est à montrer peut être vu ainsi :la réunion des noyaux des a0.id+a1f+...+ap.f^p n'est pas E (E c'est l'e.v. pour lequel f est un endo) avec (a0,a1,...,ap) distinct de (0,0,...,0). A remarquer que a0.id+a1f+...+ap.f^p=(a0+a1X+. ..+apX^p)(f).
L'idée : puisque id,f,...,f^p sont libres ces noyaux ne sont pas bien "gros". Reste à montrer qu'ils ne sont pas bien nombreux dans un certain sens.
Soit U={polynôme premier unitaire P tel que P(f) ne soit pas injectif}
U est fini, preuve :
Commençons par remarquer que pour P(f) et Q(f) P,Q deux polynômes, on a
ker(P(f)) inter ker(Q(f))=ker(R(f))
En effet, le premier membre est inclus dans le second car il existe a et b tels que aP+bQ=R d'où aP(f)+bQ(f)=R(f).
Le second membre est inclus dans le premier car P=D.R et P(f)=D(f)R(f) de même il existe D' tel que Q(f)=D'(f)R(f).
Corollaire de a) : si P et Q sont premiers entre eux alors les noyaux ker((f)) et ker(Q(f)) sont en somme directe.
Les noyaux des polynômes de U sont en somme directe et non triviaux, par définition, dans un espace de dimension fini donc sont en nombre fini.
Soit P un polynôme,
sa décomposition en facteurs premiers (unitaires) avec P'_i' injectif, P_i dans U
ker(P(f))=ker((
Le noyau d'un P(f) avec d°(p)<=p est donc égal à {0} ou à un noyau d'un Pu(f) avecPu élément de Up={polynômes de degré inférieur à p produits des éléments de U}.
Or, comme U est fini Up est fini.
Maintenant par hypothèse pour un polynôme P de degré inférieur à p, ker((f)) est un sev de codimension>0
Ainsi l'union des noyaux des a0.id+a1f+...+ap.f^p est égale à une union finie de sev de codimension >0 donc son complémentaire est un ouvert dense. Il existe bien x dans E (et même topologiquement beaucoup) tel que x, f(x),...,f^p(x) soit une famille libre.
