structure d'algebre [exo de colle]

[invite4c8f7e37]

salut pouvez vous m'aider dans cet exo s'il vous plait ?

Soit ({a,b,c},x) un groupe. écrire la table de ce groupe.
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Parmi les 3 éléments {a,b,c} il y a forcement un qui est neutre. on prendra arbitrairement l'élément a = e comme élément neutre. on note a* l'inverse de a, b* l'inverse de b et c* l'inverse de c

Maintenant il reste à déterminer les valeurs de aa, ab, ac...

aa peut être égale à (a) ou à (b) ou à (c) d'où :

aa = a ===> aaa* = aa* ===> ae = e ===> a = e
aa = b ===> aaa* = ba* ===> ae = ba* ===> a = ba*
aa = c ===> aaa* = ca* ===> ae = ca* ===> a = ca*

après je bloque !
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Pour remplir une table de groupe, il est préférable de montrer au préalable que celui-ci aura la forme d'un carré latin.
Cela signifie que sur une ligne (resp colonne), il y aura TOUS les éléments du groupe, et aucune répétition de 2 éléments.

Essaye donc de montrer que sur une ligne, tu ne peux pas avoir 2 éléments identiques.

(Après, le remplissage s'apparentera plus à un Sudoku qu'autre chose ).

[invite35452583]

a est chois comme élément neutre donc aa=a ab=ba=b ac=ca=a.
Il reste à déterminer b², bc, cb, c².
L'ordre de b divise 3 (théorème de Lagrange) et est distinct de 1 donc =3. Ainsi b² est distinct de a=e, b²=bb est distinct de b=ba (sinon b=a après simplification) donc b²=c. De même c²=b.
Il ne reste comme possibilité pour bc et cb que a.
Sans théorème de Lagrange
b²=a, b ou c, b=ba donc distinct de bb=b², il reste à éliminer a. Or dans ce cas on a ba=b, bb=a donc bc=c par élimination (bc est distinct de ba et de bb) mais ceci implique que bcc*=cc* i.E. b=e (contradiction avec a=e et b distinct de a).

[invite4c8f7e37]

Il reste à déterminer b², bc, cb, c².
L'ordre de b divise 3 (théorème de Lagrange) et est distinct de 1 donc =3. Ainsi b² est distinct de a=e, b²=bb est distinct de b=ba (sinon b=a après simplification) donc b²=c. De même c²=b.

L'ordre de b divise 3 (théorème de Lagrange) et est distinct de 1 donc =3 ? je ne comprends pas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Il me semble qu'on n'a pas besoin d'utiliser tout cela homotopie.
Le remplissage comme carré latin se fait très bien.

[invite4c8f7e37]

Je précise que je suis en MPSI.

je me pose la question suivante :

*ou bien chaque élément b et c est son propre symétrique b.b=e etc.c=e
*ou bien b et c sont symétriques l'un de l'autre b.c=c.b=e


donc deux tableaux possibles ?

[invitec053041c]

As-tu lu mon conseil au post 2 ?

(il n'y a qu'une table possible ici)

[invite4c8f7e37]

As-tu lu mon conseil au post 2 ?

(il n'y a qu'une table possible ici)

J'ai préféré faire autrement parce que ton idée ne parait pas évidente. Je ne sais même pas par quoi commencer si je dois le démontrer.

[invitec053041c]

J'ai préféré faire autrement parce que ton idée ne parait pas évidente. Je ne sais même pas par quoi commencer si je dois le démontrer.

Euh et pourtant c'est vraiment facile.

Si x*y=x*z, alors en multipliant par (x^-1) à gauche de chaque côté, on obtient y=z

Donc si dans la colonne des a tu as a*x=a*y, c'est que x=y

D'où le fait que dans une colonne (ou ligne), tu as 1 et 1 seule fois chaque élément du groupe.

Remarquant ça, tu remplis ton carré en 10 secondes (si je mets tel élément là, alors cette ligne aura 2 fois le b, donc c'est pas ça etc...)

[invite4c8f7e37]

as a*x=a*y, c'est que x=y.

ok mais j'ai du mal à comprendre le fait que si x=y alors il y a une seule fois chaque élément du groupe

[invitec053041c]

Regarde la colonne du a.

Elle est composée de : aa,ba et ca.

Si 2 de ces 3 sont égaux, il y a un problème:
Si aa=ba => a=b (problème)
Si aa=ca => a=c (problème)
Si ba=ca => b=c (problème)

Donc dans cette colonne, les éléments sont différents 2 à 2, et comme on ne peut en caser que 3, c'est qu'ils y sont tous.


Et c'est le même raisonnement pour a,b ou c. (ligne ou colonne)

[invite4c8f7e37]

d'accord je comprends maintenant.

donc
bb = c
bc = a
cb = a
cc = b

[invite4c8f7e37]

Merci pour l'aide