Bonjour,
Soient [Ox), [Oy) et [Oz) trois demi-droites deux à deux orthogonales. On désigne par A, B et C trois points distincts de O, appartenant respectivement à [Ox), [Oy), [Oz).
Il faut démontrer que la projection orthogonale H de O sur le plan (ABC) est l'orthocentre du triangle ABC.
Faut-il utiliser la notion de vecteurs normaux pour la démonstration?
Merci
Tu peux le faire avec des vecteurs, tu peux le faire en géométrie pure.
A montrer que AB est orthogonal à HC (les deux autres propositions sont symétriques de celle-ci).
La droite (HC) est dans le plan (OHC), pas besoin de se demander pourquoi considérer ce plan j'espère. Or, dans (OHC) on peut trouver deux droites non parallèles orthogonales à (AB) : (OC) et (OH), pour ne pas les nommer, chacune pour une raison liée aux deux hypothèses (le trièdre trirectangle et la projection orthogonale).
Il est ainsi fortement utiliser le théorème suivant :
une droite d est perpendiculaire à un plan P si elle est perpendiculaire à toutes les droites contenues dans P, pour qu'elle soit perpendiculaire à P il suffit qu'elle le soit à deux droites contenues dans P non parallèles.
Merci pour votre explication mais j'ai du mal à visualiser cette exercice car je n'arrive pas à visualiser la projection orthogonale de H sur O sur le plan (ABC). Est-ce bien la projection H de O sur le segment AC? je n'arrive pas à bien définir le plan (ABC).
Voilà ce que j'ai démontrer mais je ne sais pas si ça répond vraiment à la question posée.
Les vecteurs sont notés en gras.
Soit M, un point appartenant au plan.
MB=MA+AB
MC=MA+AC
MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0 + AB.CA + AC.AB = 0
Les hauteurs issues de A et de B ne sont pas parallèles car elles sont orthogonales à (BC) et (CA), qui elles memes sont non parallèles. H est le point de concours de ces 2 hauteurs.
on a HA.AB = 0
Donc H figure sur la hauteur issue de C, il est l'orthocentre du triangle ABC.
Est-ce correct ou il manque des précisions.
Par ailleurs, j'aimerais savoir comment démontrer que:
1/(OH)² = 1/(OA)² + 1/(0B)² + 1/(OC)²
Faut-il utiliser une propriété? je suis bloquée.
Merci
