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géométrie dans le plan



  1. #1
    Emmanuelle31

    géométrie dans le plan


    ------

    Bonjour,

    Soient [Ox), [Oy) et [Oz) trois demi-droites deux à deux orthogonales. On désigne par A, B et C trois points distincts de O, appartenant respectivement à [Ox), [Oy), [Oz).

    Il faut démontrer que la projection orthogonale H de O sur le plan (ABC) est l'orthocentre du triangle ABC.

    Faut-il utiliser la notion de vecteurs normaux pour la démonstration?

    Merci

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : géométrie dans le plan

    Tu peux le faire avec des vecteurs, tu peux le faire en géométrie pure.
    A montrer que AB est orthogonal à HC (les deux autres propositions sont symétriques de celle-ci).
    La droite (HC) est dans le plan (OHC), pas besoin de se demander pourquoi considérer ce plan j'espère . Or, dans (OHC) on peut trouver deux droites non parallèles orthogonales à (AB) : (OC) et (OH), pour ne pas les nommer, chacune pour une raison liée aux deux hypothèses (le trièdre trirectangle et la projection orthogonale).
    Il est ainsi fortement utiliser le théorème suivant :
    une droite d est perpendiculaire à un plan P si elle est perpendiculaire à toutes les droites contenues dans P, pour qu'elle soit perpendiculaire à P il suffit qu'elle le soit à deux droites contenues dans P non parallèles.

  3. #3
    Emmanuelle31

    Re : géométrie dans le plan

    Merci pour votre explication mais j'ai du mal à visualiser cette exercice car je n'arrive pas à visualiser la projection orthogonale de H sur O sur le plan (ABC). Est-ce bien la projection H de O sur le segment AC? je n'arrive pas à bien définir le plan (ABC).

  4. #4
    Emmanuelle31

    Re : géométrie dans le plan

    Voilà ce que j'ai démontrer mais je ne sais pas si ça répond vraiment à la question posée.
    Les vecteurs sont notés en gras.

    Soit M, un point appartenant au plan.
    MB=MA+AB
    MC=MA+AC

    MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0 + AB.CA + AC.AB = 0

    Les hauteurs issues de A et de B ne sont pas parallèles car elles sont orthogonales à (BC) et (CA), qui elles memes sont non parallèles. H est le point de concours de ces 2 hauteurs.

    on a HA.AB = 0
    Donc H figure sur la hauteur issue de C, il est l'orthocentre du triangle ABC.

    Est-ce correct ou il manque des précisions.

    Par ailleurs, j'aimerais savoir comment démontrer que:

    1/(OH)² = 1/(OA)² + 1/(0B)² + 1/(OC)²

    Faut-il utiliser une propriété? je suis bloquée.

    Merci

  5. A voir en vidéo sur Futura

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