Récurrence finie
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Récurrence finie



  1. #1
    invited34f3bcf

    Récurrence finie


    ------

    salut
    il s'agit de l'identité de frobenius:
    pour k appartenant à {1,...,p-1} avec p un nombre premier on montre que p divise
    k
    C (se lit Cpk(combinaison))
    p
    en classe on l'a fait par récurrence mais je l'ai pas bien compris.est-ce quelqu'un peut me l'expliquer?et merci d'avance

    -----

  2. #2
    invite35452583

    Re : récurrence finie

    On a qui est un multiple de p.
    On a aussi
    Si est un multiple de p, on a par défintion de ce qu'est un multiple avec entier.
    On a alors .
    Si k+1<p alors k+1 est premier avec p puisque ce dernier est premier.
    Or est un entier donc k+1 divise avec k+1 et p premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss k+1 divise , on a alors avec entier.
    On a boutit à est un multiple de p.

    On arrive beaucoup plus vite au résultat en le prenant ainsi :
    est un entier or p et (p-k)!k! sont premiers entre eux (car par exemple dans la décomposition en facteurs premiers de (p-k)!k! il n'apparaît que des facteurs<p car tous les facteurs de (p-k)!=1.2....(p-k) et de k!=1.2...k sont <p).
    On applique le théorème de Gauss, on obtient que (p-k)!k! divise (p-1)! et est de la forme p fois un entier donc est un multiple de p.

  3. #3
    invite4ef352d8

    Re : récurrence finie

    ou encore (ma préféré ^^ ) :

    en passant par la formule classique : n.C(n,p)=p.C(n+1,p+1)

    donc p | n.C(n,p), or p est premier avec n, donc (gauss) p|C(n,p)

  4. #4
    Médiat

    Re : récurrence finie

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    en passant par la formule classique : n.C(n,p)=p.C(n+1,p+1)
    C'est pas plutôt p.C(n, p) = n.C(n-1, p-1) ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite4ef352d8

    Re : Récurrence finie

    ouai j'ai vraiment dit n'importe quoi la :S (deux erreur et un conclusion fausses en 2 lignes c'est pas mal non ? )


    on reprend :


    en passant par la formule classique k.C(p,k) = p.C(p-1,k-1), on obtiens que que p |k.C(p,k) et comme p est premier avec k (gauss) p|C(p,k)

  7. #6
    invite35452583

    Re : Récurrence finie

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    en passant par la formule classique k.C(p,k) = p.C(p-1,k-1), on obtiens que que p |k.C(p,k) et comme p est premier avec k (gauss) p|C(p,k)
    Oui, un jour j'arriverai à le retenir.

  8. #7
    inviteaf1870ed

    Re : Récurrence finie

    Quelque chose m'échappe car je ne vois pas la difficulté :
    Cp,k=p!/k!(p-k)!
    Or aucun des termes du dénominateur n'est aussi grand que p, de plus p est premier, donc aucun des termes du dénominateur ne divise p.
    Donc p ne se simplifie pas, et Cp,k, qui est un entier, contient le facteur k. Donc p divise Cp,k.

    Me trompé-je ?

  9. #8
    invite35452583

    Re : Récurrence finie

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Quelque chose m'échappe car je ne vois pas la difficulté :
    Cp,k=p!/k!(p-k)!
    Or aucun des termes du dénominateur n'est aussi grand que p, de plus p est premier, donc aucun des termes du dénominateur ne divise p.
    Donc p ne se simplifie pas, et Cp,k, qui est un entier, contient le facteur k. Donc p divise Cp,k.

    Me trompé-je ?
    En gros c'est reprendre de manière moins développée ma seconde preuve, celle de Ksilver a l'avantage de considérer un nombre plus limité de facteurs.

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