Récurrence finie

[J.M.M]

salut
il s'agit de l'identité de frobenius:
pour k appartenant à {1,...,p-1} avec p un nombre premier on montre que p divise
k
C (se lit Cpk(combinaison))
p
en classe on l'a fait par récurrence mais je l'ai pas bien compris.est-ce quelqu'un peut me l'expliquer?et merci d'avance
-----

[invite35452583]

On a qui est un multiple de p.
On a aussi
Si est un multiple de p, on a par défintion de ce qu'est un multiple avec entier.
On a alors .
Si k+1<p alors k+1 est premier avec p puisque ce dernier est premier.
Or est un entier donc k+1 divise avec k+1 et p premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss k+1 divise , on a alors avec entier.
On a boutit à est un multiple de p.

On arrive beaucoup plus vite au résultat en le prenant ainsi :
est un entier or p et (p-k)!k! sont premiers entre eux (car par exemple dans la décomposition en facteurs premiers de (p-k)!k! il n'apparaît que des facteurs<p car tous les facteurs de (p-k)!=1.2....(p-k) et de k!=1.2...k sont <p).
On applique le théorème de Gauss, on obtient que (p-k)!k! divise (p-1)! et est de la forme p fois un entier donc est un multiple de p.

[invite4ef352d8]

ou encore (ma préféré ^^ ) :

en passant par la formule classique : n.C(n,p)=p.C(n+1,p+1)

donc p | n.C(n,p), or p est premier avec n, donc (gauss) p|C(n,p)

[Médiat]

en passant par la formule classique : n.C(n,p)=p.C(n+1,p+1)

C'est pas plutôt p.C(n, p) = n.C(n-1, p-1) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

ouai j'ai vraiment dit n'importe quoi la :S (deux erreur et un conclusion fausses en 2 lignes c'est pas mal non ? )


on reprend :


en passant par la formule classique k.C(p,k) = p.C(p-1,k-1), on obtiens que que p |k.C(p,k) et comme p est premier avec k (gauss) p|C(p,k)

[invite35452583]

en passant par la formule classique k.C(p,k) = p.C(p-1,k-1), on obtiens que que p |k.C(p,k) et comme p est premier avec k (gauss) p|C(p,k)

Oui, un jour j'arriverai à le retenir.

[ericcc]

Quelque chose m'échappe car je ne vois pas la difficulté :
Cp,k=p!/k!(p-k)!
Or aucun des termes du dénominateur n'est aussi grand que p, de plus p est premier, donc aucun des termes du dénominateur ne divise p.
Donc p ne se simplifie pas, et Cp,k, qui est un entier, contient le facteur k. Donc p divise Cp,k.

Me trompé-je ?

[invite35452583]

Quelque chose m'échappe car je ne vois pas la difficulté :
Cp,k=p!/k!(p-k)!
Or aucun des termes du dénominateur n'est aussi grand que p, de plus p est premier, donc aucun des termes du dénominateur ne divise p.
Donc p ne se simplifie pas, et Cp,k, qui est un entier, contient le facteur k. Donc p divise Cp,k.

Me trompé-je ?

En gros c'est reprendre de manière moins développée ma seconde preuve, celle de Ksilver a l'avantage de considérer un nombre plus limité de facteurs.