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Géométrie du plan complexe : inversion



  1. #1
    space-kro

    Géométrie du plan complexe : inversion

    Bonjour,

    je suis en train de travailler sur les inversions dans le plan complexe. J'ai du mal à voir comment cela fonctionne pour les droites et les cercles.

    J'ai bien compris pourquoi un droite avait pour image un cercle, mais je ne comprend pas les démonstrations du net qui prouve que l'image d'un cercle est une droite.

    voila, merci pour l'aide.

    -----


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  3. #2
    bret

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    salut
    désolé, je ne vois pas ce que tu entends par inversion du plan complexe, et l'image d'un cercle est une droite.
    L'image d'un cercle par quoi?

  4. #3
    alekk

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    y a une methode geometrique assez jolie mais c'est un peu long à expliquer. Sinon cherche l'equation d'une droite et d'un cercle en polaire et ca va ensuite tout seul si je me rappelle bien.

  5. #4
    Stephen

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    Citation Envoyé par bret
    salut
    désolé, je ne vois pas ce que tu entends par inversion du plan complexe, et l'image d'un cercle est une droite.
    L'image d'un cercle par quoi?
    Il parle d'inversion du plan complexe par rapport à un cercle. C'est ce qu'on appelle des transformations homographiques, c'est un sujet très classique de géométrie complexe.

    Pour la réponse, cherche du côté de la projection stéréographique. C'est une méthode fine qui devrait répondre à tes interrogations. N'hésite pas à demander si tu ne comprends pas.

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    L'inverse de centre O et de puissance K d'un point M est le point M' tel que OMM' alignés et OM.OM' = K
    On voit bien que faire 2 fois une inversion ramène au point de départ. Donc si l'inverse d'une droite est un cercle, l'inverse d'un cercle passant par O est une droite.
    En revanche, si le cercle ne passe pas par O, son inverse sera un cercle ne passant pas par O non plus.
    La beauté de l'inversion, qui amusait beaucoup les grands pères actuels est qu'elle conserve les angles : 2 droites perpendiculaires donneront 2 cercles orthogonaux (= qui se coupent à angle droit)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    cartman

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    Oups raté.
    Dernière modification par cartman ; 05/12/2004 à 16h01.

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  10. #7
    cartman

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    C'est assez déstablisant les inversions. Pour la démo par les coordonées polaires ça marche bien si ton cercle pass par O, sinon l'équation polaire est assez compliquée je crois.
    Petit remarque sympa au passage : on définit la cardioïde en polaire par
    , qui est une courbe classique.
    Et si on l'inverse on obtient : qui n'est autre que notre amie la parabole avec origine au foyer, fou non ?
    Et après on peut chercher l'orthodromie à la cardioide en se sevrant de la parabole...

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    Il n'est pas difficile de démontrer que l'inverse d'un cercle est un autre cercle, à condition de se rappeler que si une droite passant par O coupe un cercle en M et M", alors le produit OM.OM" est constant. Le cercle inverse est alors l'homothétique du premier.
    Mais le centre du cercle inverse n'est pas l'inverse du centre du 1er cercle.

  12. #9
    Quinto

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    L'image d'un cercle n'est pas toujours un cercle, et l'image d'une droite n'en est pas toujours une.

    En revanche l'image d'un cercle généralisé est un cercle généralisé (par une homographie).

    Si tu veux voir d'ou cela vient, regarde juste que l'équation d'un cercle généralisé est

    azz'+b'z+bz+c=0 (où u' est le conjuguéé de u)
    avec |b|²>ac

    En fait il suffit de faire une simple disjonction de cas:
    si a est non nul, tu prouves facilement le résultat (cercle)
    si a est nul c'est encore plus facile.

    Maintenant passe a l'inverse z->1/z tu vas obtenir une équation qui va ressembler fortement a celle ci.
    En fait b et b' vont jouer des roles symétriques, de meme que a et c.
    Pour etre exact, en passant a l'invers tu vas trouver
    czz'+b'z'=bz+a=0
    qui est encore l'équation d'un cercle généralisé...(évident)

    Ce qui prouve le résultat.

  13. #10
    Quinto

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    Pardon, j'ai oublié de définir le cercle généralisé:
    c'est une droite ou un cercle.

  14. #11
    mchmch

    Re : Géométrie du plan complexe : inversion

    salut.... tres rapidement! en utilisant le logique, l'image d'une droite ne passant pas par le centre de l'inversion est un cercle de diametre OH' tel que H' est l'image de H par I avec H le projeté orthogonal de O sur la droite (d).....
    on sait que l'inversion est involutive, alors l'image d'un cercle passant par le centre de l'inversion O est la droite (d) perpendiculaire en H a (OH')
    merci bien

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