géométrie complexe trop complexe

[invite76719122]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à resoudre ceci:

Soit A(a),B(b)et C(c) un triangle tel que |a|=|b|=|c|=1.
A'(a'),B(b'),C(c') les projetés orthogonales respectifs de M(d) sur (BC),(AC),(AB)

Sachant que u(z) et v(z') deux vecteurs du plan complexe(O,i,j) :det(u,v)=(1/2i)*(bar(z)*z'-z*bar(z')) et que pour |x|=1 <=> bar(x)=1/x

Montrer que l'aire de ABC:A(ABC)=(1/4)|b-a||c-a||b-c|

(soit A(ABC)=(1/2)det(AB,BC)=(1/2)det(OA,OB)+(1/2)det(OB,OC)+(1/2)det(OC,OA) )

Ensuite je dois trouver que l'équation complexe de (AB) est:z+ab*bar(z)=a+b

Puis(MA'):z-bc*bar(z)=d-bc*bar(d)

SVP donnez moi les techniques/solutions car en 3heures j'ai pas beaucoup avancer

merci d'avance
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[invite76719122]

Autre chose: A,B,C appartiennent à un cercle de centre O et de rayon 1

SI CELA PEUT VOUS ECLAIREZ

[invitea774bcd7]

Autre chose: A,B,C appartiennent à un cercle de centre O et de rayon 1

Là, je ne comprends plus car

Soit A(a),B(b)et C(c) un triangle tel que |a|=|b|=|c|=1.

Je pensais donc que ABC était un triangle équilatéral de côté 1…

Si c'est le cas, ils appartiennent à un cercle de rayon .

[invite76719122]

En faite |a|=AO=1, |b|=OB=1.... on en deduit que A,B,C sont sur le cercle de centre et de rayon 1.

a,b,c sont les affixes respectives de A,B,C

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Montrer que l'aire de ABC:A(ABC)=(1/4)|b-a||c-a||b-c|

(soit A(ABC)=(1/2)det(AB,BC)=(1/2)det(OA,OB)+(1/2)det(OB,OC)+(1/2)det(OC,OA) )

Le début contient une erreur (la valeur absolue est oubliée), ensuite tu cherches à aboutir à un résultat qui est un produit de trois facteurs, il va falloir factoriser, la meilleure idée n'est donc peut-être pas de décomposer en somme.
A(ABC)=(1/2)det(AB,AC)=(1/2)[(1/(2i))x((b-a)*(c-a)-(b-a)(c-a)*] (* : conjugué)
Ensuite utiliser (z+z')*=z*+z'*, l'hypothèse lal=...=1 et donc a*=1/a...
Là la factorisation sera plus évidente.
On conclue en disant que l'aire est un réel postif et on peut donc prendre le module dès que l'on a obtenu une factorisation pas très éloignée du résultat.

Ensuite je dois trouver que l'équation complexe de (AB) est:z+ab*bar(z)=a+b
[/QUOTE]
M(z) est alignée avec a et B ssi det(z-a,z-b)=0
on développe, on simplifie un peu, on utilise a*=1/a b*=1/b, on met au même dénominateur, on factorise par b-a... et on aboutit.

Puis(MA'):z-bc*bar(z)=d-bc*bar(d)

Dès que l'on saura ce que sont d, M(d) la question sera peut-être compréhensible.

[invite76719122]

Le probléme c'es que j'arrive à Aire(ABC)=(-i/4)( (b-c)/c + (c-a)/b - (a+b)/c )

Aprés même en devellopant j'arrive pas à m'approcher du produit des modules: Aire(ABC)=1/4*|b-a|*|b-c|*|c-a|

De plus je sais pas comment me debarraser du "-i" dans ma formule.Même si j'éléve au carré j'arrive pas à conclure (puisque l'aire est positive)

[invite35452583]

Le probléme c'es que j'arrive à Aire(ABC)=(-i/4)( (b-c)/c + (c-a)/b - (a+b)/c )

Je ne vois pas comment tu arrves à ça en partant de (1/2)[(1/(2i))x((b-a)*(c-a)-(b-a)(c-a)*] (* : conjugué).
On voit vite que (b-a)(c-a) pourra être mis en facteur une fois que l'on aura utilisé a*=1/a,..

Aprés même en devellopant j'arrive pas à m'approcher du produit des modules: Aire(ABC)=1/4*|b-a|*|b-c|*|c-a|

Ce n'est pas qu'en développant que tu arriveras à un produit.

De plus je sais pas comment me debarraser du "-i" dans ma formule.Même si j'éléve au carré j'arrive pas à conclure (puisque l'aire est positive)

Pas d'affolement, le "-i" "disparaîtra" avec le passage au module l-il=1.