calcul d'une intégrale généralisé

[invite371ae0af]

bonjour,
pouvez vous m'aider pour cet exercice:
on me demande de déterminer la convergence de C= en fonction des valeurs de a et de b

j'ai fait
par passage à l'intégrale j'arrive à:


pour la première inégalité b doit être différents de -1 et pour la seconde a+b différent de -1
j'obtiens 2 cas

1) supposons b>-1 et a+b>-1
je trouve C qui tend vers +inf

2) supposons b<-1 et a+b<-1
je trouve que le minorant tend vers
et le majorant tend vers
comment conclure?


merci pour votre aide
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[breukin]

Si , pour tout , on a pour suffisamment grand.

[invite371ae0af]

oui c'est ce que j'ai fait à la première ligne
sauf que ce n'est pas x(a+b) mais x^(a+b)

mais est ce que je peux mettre la même puissance des 2 cotés de l'inégalité?

[breukin]

Non, ce que je vous ai suggéré n'est pas ce que vous avez fait, puisque vous, vous majorez par x^a+b, tandis que moi, je majore par x^e+b, pour tout e aussi petit que je veux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

mais ma majoration est bonne non?
de plus je ne vois pas pourquoi je dois majorer par x^(e+b)
puisque j'aurai le même problème qu'avec mon encadrement?

[breukin]

Parce que votre encadrement est bien trop lâche.
Et puis surtout, il ne s'agit pas d'encadrer l'intégrale, et encore moins de manière uniforme, avec une formule unique valable pour toutes les situations. Il faut discriminer les cas, et appliquer pour chacun la bonne méthode.
Et pour cela, il faut visualiser dans sa tête le comportement de la fonction en fonction des valeurs des paramètres et .

Soit (l'intégrale est convergente en 1).

Soit . Pour suffisamment grand,

Donc si , l'intégrale est divergente en l'infini (grâce à l'inégalité de gauche).
Et si , on peut trouver un tel que , donc l'intégrale est convergente en l'infini (grâce à l'inégalité de droite).

En , on trouve le même résultat de manière directe.

Je vous laisse regarder avec (il faudra examiner les deux bornes).