Question intégrale généralisé

[invite7d811809]

Bonjour à tous,

voila, aujourd'hui, nous avons corrigé un exercice, et le professeur à utilisé une certaine méthode.
Personnellement, j'en ai utilisée une autre, qui mène à un résultat différent (et un peu faux...)
Le problème est que je ne comprend pas l'erreur (qui je le sens doit être énorme)

Enoncé : étude de la nature de l'intégrale de 0 à +oo de :
ln(1+sinx/x^a) (discuter selon a)

Je m'interesse à l'étude au voisinage de 0, je considère alors un intervalle ]0;1[
Pour tout x de cet intervalle :
ln(1+sinx/x^a) < 1+sinx/x^a

or l'intervalle de 0 à de 1 converge.

Pour l'intégrale de sinx/x^a :
au v(0) : sinx~x, cela revient à chercher l'intégrale de 1/x^(a-1)

On reconnaît une intégrale de Riemann, convergeant ssi a-1<1
C'est-à-dire ssi a<2

Or dans le corrigé, l'intégrale converge en 0 ssi a>1/2

Merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Tu étudies l'intégrale .
Lorsqu'elle converge, la majoration , que tu pourrais améliorer en , te permets de conclure, mais la majoration ne te permet pas conclure dans le cas de divergence.

[invite7d811809]

D'accord, je comprend cela.

Mais alors pourquoi je trouve que l'intégrale de l'énoncé converge si a<2 alors qu'en vrai c'est si a>1/2 ?

Il doit bien y avoir une erreur quelque part dans mon raisonnement

[invite57a1e779]

Dans le cas a=0, l'intégrale à étudier est qui ne pose aucun problème de convergence.
De même pour a<0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d811809]

D'accord, mais si a=3, avec l'inégalité que vous avez donné et le théorème d'Abel on montre l'absolue convergence (donc la convergence).

Or a>2, ce qui est contraire à ce que j'ai "démontré".

Et je ne vois pas la faute dans mon raisonnement...

PS : je suis désolé ca semble faire le mec borné je crois que c'est moi qui ait vraiment du mal avec ce truc mais je ne vois pas
En tout cas merci de prendre un peu de temps pour m'aider.

[invite57a1e779]

On est d'accord : tu démontres correctement que l'intégrale converge si, et seulement si, , et que l'intégrale converge si, et seulement si, .

Ton erreur est d'en déduire que l'intégrale converge si, et seulement si, . Elle peut très bien converger pour d'autres valeurs de pour lesquelles la majoration serait trop large.

Mais il est tout aussi faux que l'intégrale converge si, et seulement si, ; il est possible que le corrigé conclue que l'intégrale converge si, et seulement si, .

[invite7d811809]

ahhhhhhhhh ouais ok je vois c'est bon blocage fini
Merci beaucoup !!