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Betes questions d'algebre



  1. #1
    BioBen

    Betes questions d'algebre


    ------

    Salut,
    bon je bloque sur quelques points d'algèbre très simples à priori (comme je l'avais dit y'a pas longtemps) donc si vous pouvier m'apporter quelques eclaircissements (je mets pas les enoncés de mes exos car je veux les faire seuls, je mets des questions plus "génériques") :

    1/ On me donne F sous espace de E (ev de R^4) engendré par deux vecteurs. On me demande de determiner une base du sous espace orthogonal F^(_l_).

    => Pour ca il suffit que je trouve deux vecteurs qui sont orthognaux aux vecteur engendrant F ??


    2/ Pour montrer que R^4 est somme directe de F et G, il suffit que je montre que :
    F n G = 0
    dimR^4 = dim F + dim G
    C'est bien ca (c'est ce qui me parait logique en tout cas)?

    Pour l'instant j'ai que ces deux questions mais je risque d'en avoir quelques autres au fur et à mesure des mes "revisions" (je m'efforce à faire de l'algèbre pour eclaircir tout ca mais c'est long et ca me rend dingue ).

    Mirci beaucoup d'avance
    Benjamin

    -----
    Dernière modification par BioBen ; 07/03/2006 à 14h02.

  2. #2
    Bloud

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen
    2/ Pour montrer que R^4 est somme directe de F et G, il suffit que je montre que :
    F n G = 0
    dimR^4 = dim F + dim G
    C'est bien ca (c'est ce qui me parait logique en tout cas)?
    Oui c'est ça. Ou alors tu peux montrer qu'en prenant une base de F et une base de G on obtient une base de
    I was born intelligent...education ruined me!

  3. #3
    Bloud

    Re : Betes questions d'algebre

    Je rajoute juste que la méthode que je donne est, je pense, plus pratique dans le cas général (quand on dispose de bases évidemment). En effet, les intersections sont plus délicates à manier quand on a plus de deux ev (i.e au moins trois). Un exemple : prend les sev E, F, G sur de respectivement engendrés par
    v1=(0,1,0)
    v2=(1,1,0)
    v3=(1,0,0).

    On aurait tendance à écrire que E n F n G = {0} et que la somme des dimensions est égale à 3 donc que E ,F et G sont en somme directe égale à . Ce qui est évidemment faux car (v1,v2,v3) n'est pas une famille libre de (on a v2 = v1 +v3). En fait l'erreur est bête ; étant donné que des combinaisons linéaires sont possibles, il faut non pas considérer E n F n G mais :
    E n F n G et E n (F n G) et toutes les permutations possibles (je n'écris pas, j'ai peur d'en oublier une ).
    I was born intelligent...education ruined me!

  4. #4
    Bloud

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen

    1/ On me donne F sous espace de E (ev de R^4) engendré par deux vecteurs. On me demande de determiner une base du sous espace orthogonal F^(_l_).

    => Pour ca il suffit que je trouve deux vecteurs qui sont orthognaux aux vecteur engendrant F ??

    Je crois bien que c'est ça. Dans la mesure où un produit scalaire est une application linéaire, il ne pose pas trop de problèmes avec les combinaisons linéaires de vecteurs par la suite. Tu vois bien que tu te débrouilles pas trop mal en algèbre linéaire . Attention toutefois : chaque vecteur des bases considérées doit être orthogonal aux deux vecteurs de l'autre base!

    Cordialement.
    Dimitri.
    I was born intelligent...education ruined me!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Attention toutefois : chaque vecteur des bases considérées doit être orthogonal aux deux vecteurs de l'autre base!
    Oui ca je suis si nul que ca (mais presque)
    Disons que j'essaie de rester cohérent lol.

    Merci pour les deux réponses rapides et completes .
    Et sans doute à bientot lol

  7. #6
    Bloud

    Re : Betes questions d'algebre

    Par contre j'ai fait une erreur pour le produit scalaire : ce n'est pas une application linéaire mais bilinéaire (symétrique). Honte à moi! Ma réflexion reste cependant valide.
    I was born intelligent...education ruined me!

  8. #7
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Salut,
    Eh oui, je reviens à la charge (j'a le temps de bosser avec leurs grêves !) :

    Notions de base :

    - Comment vous faites pour calculer l'inverse d'une matrice ? (quelle est la technique la plus rapide). Car je n'en connais que 2 :
    *transpoée de la comatrice sur le determinant de la matrice initiale.
    *mettre la matrice identité à coté de ma matrice, la diagonaliser, et la matrice inverse apparait.

    - Que réprésente la norme d'une matrice et à quoi ca sert (mathématiquement et physiquement) ?

    - Que représente clairement le radical d'une forme quadratique ? (le calculer ca je sais faire).

    Notions plus avancées :

    - Vous auriez un peu de docs (ou des choses utiles à savoir) sur les plans artiniens ? Car ca revient dans plein d'exos et ca m'a l'air important de bien maitriser le concept...

    - De même pour la notion d'isotropie.

    J'ai fait une étude de l'espace-temps de Minkowski, et j'ai quelques questions d'interprétation à vous poser dessus :
    - si dans mon exo on parle autant de plan artinien, c'est relié ) la géométrie hyperbolique ? (et notamment au fait qu'en RR on puisse écrire les tranformations avec des c et des sh)
    - J'ai montré que tout sous espace totalement isotrope F non nul de M (espace quadratique de Minkowski) est une droite. Quelle est son interprétation physique ?

    Merci d'avance pour votre précieuse aide !
    Benjamin

  9. #8
    Bloud

    Re : Betes questions d'algebre

    Salut,

    Citation Envoyé par BioBen
    Salut,
    Eh oui, je reviens à la charge (j'a le temps de bosser avec leurs grêves !)
    Oui, moi aussi, c'est comme ça!
    Le truc qui m'embêterait vraiment, c'est que les partiels soient bloqués aussi. Ce serait hautemant désagréable...

    Citation Envoyé par BioBen
    Notions de base :

    - Comment vous faites pour calculer l'inverse d'une matrice ? (quelle est la technique la plus rapide). Car je n'en connais que 2 :
    *transpoée de la comatrice sur le determinant de la matrice initiale.
    *mettre la matrice identité à coté de ma matrice, la diagonaliser, et la matrice inverse apparait.
    Bon, je ne réponds qu'à cette question car pour les autres, je ne te serai d'aucune aide (après tout je ne suis qu'en L1 ). Alors, j'aurais tendance à utiliser la deuxième méthode dont tu parles. La première est un surtout un outil théorique mais pas très pratique. En effet dès que l'ordre de la matrice est supérieur ou égal à 3, c'est lourd (et à 3 déjà, ce n'est pas sympa à faire). Pour te donner l'ordre d'idée du travail que ça représente, quand tu as une matrice d'ordre n, avec la méthode de la comatrice, tu dois a priori calculer un déterminant d'ordre n et n² déterminant d'ordre (n-1).
    En bref, je dirais presque que c'est une méthode à abandonner à partir de n=3.

    Sinon, la méthode que j'utilise est la suivante : quand tu as une matrice A, tu poses

    . Tu obtiens un système de n équations à n inconnues, qui se résoud assez facilement.

    Bon, maintenant les inverses de matrice c'est bien joli mais quand on a des matrices carrées de grand ordre, on utilise l'informatique!


    EDIT : I est bien sûr la matrice identité!
    Dernière modification par Bloud ; 11/03/2006 à 09h47.
    I was born intelligent...education ruined me!

  10. #9
    Colas

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen
    Pour montrer que R^4 est somme directe de F et G, il suffit que je montre que :
    F n G = 0
    dimR^4 = dim F + dim G
    C'est bien ca (c'est ce qui me parait logique en tout cas)?
    Salut,

    Par définition c'est évidemment vrai, mais en pratique c'est pas toujours évident à démontrer. Je ne sais pas quel est le but de l'exo, mais tu peux surement te servir du théorème qui dit que dans un ev euclidien E, pour tout sev F de E on a E qui est somme directe de F et F orthogonal.

  11. #10
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Bon, je ne réponds qu'à cette question car pour les autres, je ne te serai d'aucune aide (après tout je ne suis qu'en L1 ).
    Ouais c'est aussi ce que je pensais

    Personne a d'idée pour mes autres questions (message#7) ?

  12. #11
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    On se libère pas comme ca d'un BioBen !

    J'ai encore une (en fait 2) question très simple je pense mais à laquelle je ne trouve pas de réponse, et même dans le bouquin que j'ai acheté y'a 5 semaines et qui m'a permit de super super beaucoup mieux comprendre l'algèbre (et que je conseille à tous* !), c'est indiqué comment faire mais ca marche pas :

    J'ai une certaine matrice M 3x3.
    Elle a une valeur propre triple k=1, et le sev qui lui est associé est de dimension 1, donc je trouve facilement le vecteur propre ... mais comment je trouve les deux autres vecteurs à mettre dans ma matrice de passage (P^-1 M P = T) ??

    Autre question : T est elle unique ? Ca peut paraitre bête mais on parle souvent de "matrice semblable à une matrice de Jordan", mais donc ca veut dire qu'une certaine matrice M peut etre trigonale dans différentes bases ? (en clair les valeurs dans le triangle superieur droit sont pas les mêmes, la diagonale reste bien sûr la même vu que c'est le valeurs propres).

    Merci beaucoup !
    Benjamin

    *"Algèbre linéaire et bilinéaire", François Cottet-Emard, Editions de boeck

  13. #12
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen
    J'ai une certaine matrice M 3x3.
    Elle a une valeur propre triple k=1, et le sev qui lui est associé est de dimension 1, donc je trouve facilement le vecteur propre ... mais comment je trouve les deux autres vecteurs à mettre dans ma matrice de passage (P^-1 M P = T) ??
    Bonsoir,
    Qu'est-ce que c'est que ce bazar? Si la valeur propre est triple, ça veut dire que le polynôme caractéristique est divisible par (X - m)3, où m est la valeur propre, pas envie de faire du LaTeX, et le sous-espace est de dimension 3, je crois? La multiplicité des v.p. donne en principe la dimension des sev propre. Si je me souviens bien... C'est ce qu'on appelle les modules de Verma quand il s'agit d'algèbres de Lie, mais en fait c'est exactement la même chose.

    Cordialement,

    -- françois

  14. #13
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen
    - Que réprésente la norme d'une matrice et à quoi ca sert (mathématiquement et physiquement) ?

    - Que représente clairement le radical d'une forme quadratique ? (le calculer ca je sais faire).

    - Vous auriez un peu de docs (ou des choses utiles à savoir) sur les plans artiniens ? Car ca revient dans plein d'exos et ca m'a l'air important de bien maitriser le concept...

    - De même pour la notion d'isotropie.
    En vrac, et sous réserve de détails demain quand j'aurai dormé:

    Intuitivement, la norme d'une matrice est son "coefficient de dilatation": une matrice avec une norme élevée aura tendance à étirer l'espace, une avec un petite norme à la contracter. Intérêt évident pour le convergence des séries de matrices (surtout l'exponentielle!!!)

    Le radical d'une f.q. est en fait l'idée d'une "direction" ou plus généralement d'un sous-espace dans lequel la f.q. ne se manifeste pas... disons "métriquement"; c'est très très proche du cône isotrope, mais ça a le mérite d'étre un sev. Pour isotropie, même réponse (en attendant mieux).

    Pour les plans artiniens, autant voir le Maître: Emil Artin, Algèbre Géométrique, chez Gauthier-Villars. Explications sans calculs, à comprendre "à la main" en faisant les crobards... aussi valable pour les espaces projectifs, arguésiens, et autres...

    Salut,

    -- françois

  15. #14
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre


    Bon le polynome caractéristique est évident, (1-k)^3.

    D'où k=1 est valeur propre triple.
    Maintenant on cherche les vecteurs propres pour pouvoir former la matrice de passage P (pour trouver une base où M est trigonale).

    On a clairement le vecteur (0 1 0), mais je ne vois pas comment trouver les 2 autres !

    ----------
    J'ai parlé des "matrices de Jordan" parce que j'ai lu qu'on sait qu'au final je vais aboutir sur une matice "semblable" (ca veut dire quoi "semblable"?) à celle là :


    Merci

  16. #15
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Pour les plans artiniens, autant voir le Maître: Emil Artin, Algèbre Géométrique, chez Gauthier-Villars.
    Ok je le rajoute sur ta liste des bouquins à acheter ou consulter lol

    Merci pour les autres réponses, j'avais intuité ça pour la norme d'une matrice et ca confirme mon intuition (eheh lol).

    J'ai oublié de poser une question :
    J'ai parlé des "matrices de Jordan" parce que j'ai lu qu'on sait qu'au final je vais aboutir sur une matice "semblable" (ca veut dire quoi "semblable"?) à celle là :
    *Que veut dire semblable ?
    *Dans une exercice, moi et un ami ne trouvons pas les mêmes valeurs dans le triangle superieur droit d'une matrice trigonale : ca veut dire qu'il existe plusieurs bases où M est trigonale,ou bien que l'un de nous deux a faux ?

    Merci d'avance (je pose mes question ici car je n'ai pas de profs=>blocage),
    Benjamin
    Dernière modification par BioBen ; 28/03/2006 à 23h57.

  17. #16
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen

    Bon le polynome caractéristique est évident, (1-k)^3.

    D'où k=1 est valeur propre triple.
    Maintenant on cherche les vecteurs propres pour pouvoir former la matrice de passage P (pour trouver une base où M est trigonale).

    On a clairement le vecteur (0 1 0), mais je ne vois pas comment trouver les 2 autres !
    Au feeling!
    L'équation MX = X te donne deux équations à trois inconnues, à toi de choisir la solution qui te convient le mieux... Et il y a du choix! Sur une matrice comme ça, elle n'est pas forcément diagonalisable (ce qui correspond à une représentation complètement réductible si tu en as entendu causer) mais au moins trigonalisable. Même comme ça il y a du choix.

    -- françois

  18. #17
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Sur une matrice comme ça, elle n'est pas forcément diagonalisable (ce qui correspond à une représentation complètement réductible si tu en as entendu causer) mais au moins trigonalisable.
    Oui oui je suis quasiement sûr qu'elle ne sera pas diagonalisable (il n'y a qu'un vecteur propre associé à cette valeur propre).
    Mais c'est ca mon problème !
    Grosso modo on tombe sur :
    x=0 ; y=y ; z=0.
    Donc on a comme vecteur propre u1 = (0 1 0).
    Mais c'est tout.... je mets quoi d'autre dans ma matrice de passage P ? Il me manque deux vecteurs...

  19. #18
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen
    Oui oui je suis quasiement sûr qu'elle ne sera pas diagonalisable (il n'y a qu'un vecteur propre associé à cette valeur propre).
    Mais c'est ca mon problème !
    Grosso modo on tombe sur :
    x=0 ; y=y ; z=0.
    Donc on a comme vecteur propre u1 = (0 1 0).
    Mais c'est tout.... je mets quoi d'autre dans ma matrice de passage P ? Il me manque deux vecteurs...
    Argh. Je suis sûr qu'elle a une composante nilpotente, qui va s'écrouler au bout de deux itérations. Autrement dit, elle va avoir une forme de Jordan non diagonalisable, avec un zéro en haut à droite... je regarde ça de plus près, ça ne remet pas en cause la dimension des sous-espaces propres, mais il faudrait vérifier les composantes de Fitting, pas à cette heure-ci, désolé pour ce soir!

    -- françois

  20. #19
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par fderwelt
    Argh. Je suis sûr qu'elle a une composante nilpotente, qui va s'écrouler au bout de deux itérations. Autrement dit, elle va avoir une forme de Jordan non diagonalisable, avec un zéro en haut à droite... je regarde ça de plus près, ça ne remet pas en cause la dimension des sous-espaces propres, mais il faudrait vérifier les composantes de Fitting, pas à cette heure-ci, désolé pour ce soir!

    -- françois
    Bon sang, mais je n'ai dit que des conneries... Bien sûr, tu as raison, le seul vecteur tel que MX=X est bien (0,1,0) (à un coeff près). Et je suis en train de confondre les sous-espaces propres avec d'autres sous-espaces plus foireux... Je préfère me taire jusqu'à demain! et

    -- françois

  21. #20
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Bon sang, mais je n'ai dit que des conneries
    Meuh non, on est d'accord sur la matrice de Jordan au moins

    Bien sûr, tu as raison, le seul vecteur tel que MX=X est bien (0,1,0) (à un coeff près).
    Oui oui, on met ce qu'on veut pour y( ca fait juste des vecteurs colinéaires )., mais bon 1 est souvent plus simple que 1/31231.
    Mais ca marche que pour un vecteur propre vu qu'il faut 3 vecteurs linéairement indépendants.

    Une des pistes que j'ai étudié (sans conviction) etait de prendre deux autres vecteurs orthogonaux entre eux (une base orthonormée quoi), et d'essayer...mais ca marche pas.

    Et je suis en train de confondre les sous-espaces propres avec d'autres sous-espaces plus foireux...
    Je me disais bien que quelques mots semblaient compliqués . Po grave

    Si quelqu'un a des idées, indices, solutions, ... les questions se trouvent #14 et #15, faut juste faire avancer un peu mon schmilblick...
    Dernière modification par BioBen ; 29/03/2006 à 01h13.

  22. #21
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    J'ai trouvé !
    Comment j'y ai pas pensé plus tot
    Pour
    On prends comme matrice de passage :

    d'où sauf erreur de calcul (il se fait tard) :


    A priori ca marche ... !

  23. #22
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    En fait suffit que les deux autre vecteurs que je prends aient une projection sur ma droite (donc ici une composante sur y, ce qui confirme mon idée initale que prendre des vecteurs orthogonaux était douteux).

  24. #23
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par BioBen
    En fait suffit que les deux autre vecteurs que je prends aient une projection sur ma droite (donc ici une composante sur y, ce qui confirme mon idée initale que prendre des vecteurs orthogonaux était douteux).
    Bon bin je vois que tu as trouvé... Effectivement, la partie "hors y" des vecteurs va être anéantie, et lesdits vecteurs ramenés sur la droite Oy. C'est bien ce qu'exprime la forme de Jordan.

    Permets-moi de ne pas regardrer de plus près, j'ai plein de trucs à faire aujourd'hui et en plus je me suis réveillé en retard.

    Salut,

    -- françois

  25. #24
    BioBen

    Re : Betes questions d'algebre

    Effectivement, la partie "hors y" des vecteurs va être anéantie, et lesdits vecteurs ramenés sur la droite Oy.
    Oui c'est ce que j'avais mal compris précédemment.

    Permets-moi de ne pas regardrer de plus près, j'ai plein de trucs à faire aujourd'hui et en plus je me suis réveillé en retard.
    No problemo

  26. #25
    Aquila

    Re : Betes questions d'algebre


    Excusez moi. J'ai une question qui va vous paraître encore plus bête :

    Comment trouve-t-on le radical d'une forme quadratique ?

    Le radical d'une forme quadratique q est l'ensemble des b tels que pour tous x, q(b+x) = q(x)
    Donc tout vecteur du radical vérifie q(b) = 0 (en prenant x = 0)

    Or si on calcule l'ensemble des b tels que q(b) = 0, on trouve l'ensemble des vecteur isotropes qui contient le radical, c'est bien ça ?

    Alors comment calcule-t-on exactement le radical de q ? (Par exemple, au hasard, dans R^3, q (x,y,z) = -x²+y²-z²-xy+xz-yz)

    Merci par avance de vos réponses. Parce que pour l'instant, moi = ...

  27. #26
    fderwelt

    Re : Betes questions d'algebre

    Citation Envoyé par Aquila
    Comment trouve-t-on le radical d'une forme quadratique ?

    Le radical d'une forme quadratique q est l'ensemble des b tels que pour tous x, q(b+x) = q(x)
    Donc tout vecteur du radical vérifie q(b) = 0 (en prenant x = 0)

    Or si on calcule l'ensemble des b tels que q(b) = 0, on trouve l'ensemble des vecteur isotropes qui contient le radical, c'est bien ça ?
    Bonjour,

    Oui, mais cette définition n'est pas la plus opérationnelle. Il vaut mieux prendre la forme bilinééaire associée à q, soit f(x,y) avec q(x) = f(x,x), et f(x,y) = (q(x+y) - q(x) - q(y)) / 2.
    Alors le radical est l'ensemble des b tels que f(b,x) = 0 pour tout x. On se ramène à un système d'équations linéaires.

    Dans ton exemple,
    f(x,y,z;x',y',z') = -xx' +yy' -zz' -(xy'+x'y)/2 +(xz'+x'z)/2 -(yz'+y'z)/2
    Il suffit d'identifier à 0, un vecteur (a,b,c) est dans le radical si et seulement si
    f(x,y,z;a,b,c) = 0 pour tout (x,y,z)
    Ya plus qu'à écrire les coefficients de x,y,z en fonction de a,b,c et dire qu'ils sont nuls, j'ai la flemme...

    -- françois

  28. #27
    Aquila

    Re : Betes questions d'algebre

    Merci beaucoup de ton aide. J'essaie ça tout de suite. L'exemple que je t'ai donné était bidon, c'était pour ne pas que tu me donnes la réponse... Donc finalement j'aurai pu mettre la vraie expression !!!
    Vraiment, tu viens de me sauver la vie. Je te redis si ça marche pas. Enfin, si JE n'y arrive pas...

    Merci encore.

  29. #28
    Aquila

    Re : Betes questions d'algebre

    En fait, dès que la forme quadratique est de la forme (dans R^3 ) :
    ax² + by² + cz² + dxy + exz + dyz (ou les variables sont x, y et z) on a toujours le vecteur nul comme radical quasiment.

    Maintenant, une petite question en plus ... La version matricielle. Soit B la matrice de q telle que si v = (x, y, z)

    [v^transposé]*(B)*v = q(v)

    Le radical de q est l'ensemble des vecteurs X = (a, b, c) tels que BX = 0, c'est bien ça ?

    De toute façon, quelle que soit la méthode, je trouve un radical réduit au vecteur nul. Dans ce cas, comment faire pour prouver que ce radical-vecteur nul est supplémentaire de l'espace F des vecteurs (x, y, 0) dans R^3 ?
    Pour moi, cette affirmation est tout simplement fausse : par exemple le vecteur (1, 1, 1) est dans R^3, mais n'appartient ni au radical, ni à l'espace F. Les deux ne sont donc pas supplémentaires ! Je me trompe ?

    Merci de vos réponses.

    Gael
    Dernière modification par Aquila ; 29/03/2006 à 14h21.

  30. #29
    rvz

    Re : Betes questions d'algebre

    Salut,

    Evidemment, zéro est toujours dans le radical, puisqu'en fait, comme tu peux le voir sur la version matricielle, c'est Ker(B) où B est la matrice de ta forme quadratique. Je comprends pas la fin de ton post...

    __
    rvz

  31. #30
    Aquila

    Re : Betes questions d'algebre

    Ce que je voulais dire c'est que souvent, le radical est réduit au vecteur nul.

    Pour la fin de mon post je recommence plus clairement (C'est vrai que c'était pas bien clair).

    Je trouve donc un radical réduit au vecteur nul.

    On me demande de montrer que le plan F des vecteurs (x, y, 0) est un supplémentaire de mon radical. Donc on me demande de montrer que F est supplémentaire du vecteur nul.
    Or si je prends le vecteur (1, 1, 1), il appartient à R^3, mais il n'est pas le vecteur nul et il n'appartient pas à F. J'en déduis donc que F et le vecteur nul ne sont pas supplémentaires, ce qui est le contraire de ce qu'on me demande.

    Donc s'il y a une faille dans mon raisonnement, merci de me l'expliquer parce que je sèche. J'espère que c'est moi qui ai fait l'erreur et pas le prof, ceci dit...

    Merci de votre aide

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