matrice d'un isomorphisme

[invite11f2a3ff]

Bonjour,

Je me suis rendu compte d'un truc tout à l'heure, que je n'avais jamais remarqué, et ça m'a semblé tellement bizarre que je prèfère vous soumettre le problème pour confirmation.

Si vous prenez un isoporphisme f : E-->F
où B=(e1,...,en) est une base de E.
Comme f est un isomorphisme, C=(f(e1),...,f(en)) est une base de F.

Donc on a matBC(f)=In
Or comme In est la matrice de l'identité de E dans la base B, ça m'a semblé étrange.

Voilà, tout ce que je vous demande, c'est de me dire "oui effectivement", ou "non, pas du tout" (sans vouloir paraître trop exigeant), mais je ne prétends pas vous soumettre un problème de mathématique passionnant.

Cordialement

@+++
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[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

C'est cette notation matBC(f) qui est trompeuse. Mais effectivement la matrice est bien la matrice unité avec des bases choisies comme ça. En général, on évite. À mais à c't'heure j'ai la flemme de chercher un exemple parlant.

-- françois

[invite28ed3995]

Au contraire, la notation n'est pas trompeuse parce qu'elle spécifie les bases.

Ce qui est trompeur, c'est l'abus d'écriture qui consiste à ne pas spécifier les bases.

Cela fait oublier que l'on peut effectivement écrire une matrice comme Latouffe l'indique.

C'est d'ailleurs une question piège souvent posée à l'oral de l'agreg :

"Est ce qu'une matrice qui admet une écriture diagonale est nécessairement diagonalisable?"

La rponse est bien sûr négative pour exactement les mêmes raisons évoquées dans ce fil.

Sauf erreurs.

Airy.

[invite6de5f0ac]

Rebonsoir,

et merci Airy, c'est exactement ce que j'avais en tête, mais là je commence à piquer du nez et je n'avais pas le courage / la force de "rédiger" quelque chose qui aurait probablement été plein d'abus de langage et/ou (ou inclusif évidemment) de notations...

Je suis quand même surpris que des candidats à l'agreg' puissent se laisser piéger à un truc pareil. Note, c'est aussi pour ça qu'il y a un concours et qu'on ne les prend pas seulement sur leur bonne mine...

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedef78796]

C'est d'ailleurs une question piège souvent posée à l'oral de l'agreg :

"Est ce qu'une matrice qui admet une écriture diagonale est nécessairement diagonalisable?"

Bonsoir à tout le monde,

J'avoue que cette question piège me laisse perplexe. Je pense que tu voulais dire "Est ce qu'un endomorphisme qui admet une écriture matricielle diagonale est nécessairement diagonalisable?".

Là ok la réponse est non. Mais une matrice diagonale, c'est une matrice diagonale (donc diagonalisable...).

Autre explication : il est tard et une subtilité de vocabulaire m'échappe...

@+

[GuYem]

+1 pour la remarque de DL, je ne comprends pas le problème dans la formulation posée par Airy.

De toute façon, si une appli linéaire n'a pas les mêmes espaces de départ et d'arrivée, on ne parle pas de valeurs/vecteurs propres, ni de diagonalisation.

[Scorp]

Qu'est ce que vous entendez par "avoir une écriture diagonale" ? Par exemple, si on prend un automorphisme f (c'est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme) : Si je comprend bien, d'après Latouffe, il existe toujours des bases B et C telles que , pourtant, f n'est pas pour autant diagonalisable, c'est bien ca ?
Guyem nous dit qu'il faut que les 2 espaces de départ et d'arrivé soit les mêmes, mais est-ce suffisant pour parler de réduction. Ne faut-il pas utiliser aussi la même base pour les deux espaces. Autrement dit, en reprenant l'exemple de l'automorphisme : il a toujours une écriture diagonale car il existe toujours des bases B et C telle que (en prenant avec pour tout i, puisque f est un automorphisme, donc un isomorphisme). Cependant f n'est pas forcément diagonalisable parce qu'il n'existe pas obligatoirement une base D dans laquelle on a diagonale. Est ce que c'est ca ou pas, parce que la réduction, et donc la diagonalisation, est toujours un peu flou pour moi.

[Gwyddon]

C'est bien ça, et j'avoue aussi que la formulation d'Airy m'échappe, le piège étant peut-être justement de dire "non" alors que c'est oui puisque une matrice peut représenter quantités d'applications linéaires avec quantités de bases différentes au départ et à l'arrivées, donc une matrice diagonale est diagonalisable avec comme matrice de passage l'identité

[GuYem]

Ah, Scorp m'a eclairci les idées : on parle de réduction quand il y a la même base au départ et à l'arrivée, et donc à fortiori le même espace.

[invite28ed3995]

Je crois avoir vu l'ambiguité de ma phrase :

La phrase correcte serait plus :

"Est ce qu'une application linéaire représentée par une matrice diagonale est nécessairement diagonalisable" .

Remarque, même pour des endomorphismes, on peut travailler avec des représentations matricielles qui font intervenir des "bases" de départ et "d'arrivée" distinctes.

Là, c'est moi qui ai commis un abus de language, en identifiant application linéaire avec matrice.

Sauf erreurs.

[Gwyddon]

Ah là on est d'accord, c'est une belle question piège

Et l'abus de langage est aussi un piège

[invite11f2a3ff]

Euh, je n'ai pas bien compris pourquoi vous parlez de diagonalisation (en fait je n'ai pas encore appris ce que c'est). Si je comprends bien, la réponse à ma question est "oui" (c'est que j'ai cru comprendre implicitement dans le post#2)

@++

[Gwyddon]

Ah euh désolé on a un peu dévié

Sinon la réponse à ta question initiale est plutôt "non", comme le dit le post #3 et suivant (même le post #2 le dit, mais pas de manière vraiment transparente )

[invitedef78796]

Euh, je n'ai pas bien compris pourquoi vous parlez de diagonalisation (en fait je n'ai pas encore appris ce que c'est). Si je comprends bien, la réponse à ma question est "oui" (c'est que j'ai cru comprendre implicitement dans le post#2)

@++

La réponse à ta question initiale est "oui" mais on a un peu élargi le sujet après .

Pour résumer l'essentiel de ce qui a été dit, une application linéaire avec et deux espaces vectoriels de dimension finie est parfaitement décrite par sa matrice où est une base de et une base de .

Dans l'exemple que tu as proposé, on obtient bien mais ce n'est pas très intéressant car cela ne t'apprend rien de spécial sur .

Lorsque , est un endomorphisme et, même si ce n'est pas une obligation, on choisit souvent la même base d'arrivée et de départ pour écrire la matrice de .
On peut alors se demander s'il existe une telle base pour laquelle la matrice de dans cette base est diagonale : si c'est vrai, on dit alors que est diagonalisable.

EDIT : Pour Gwyddon je maintiens, la réponse à sa toute première question est "oui".

[Gwyddon]

EDIT : Pour Gwyddon je maintiens, la réponse à sa toute première question est "oui".

Je ne comprend pas : sa question initiale était formulée dans ce style "Donc on a matBC(f)=In
Or comme In est la matrice de l'identité de E dans la base B, ça m'a semblé étrange.

Voilà, tout ce que je vous demande, c'est de me dire "oui effectivement" "

Je maintiens moi aussi : il n'y a rien de bizarre dedans puisque il ne faut pas confondre matrice et applications linéaires, donc la réponse est "non"

[invitedef78796]

Ok

Bon on est d'accord la réponse désirée est :

"non il n'y a rien de bizarre dans le résultat que tu as trouvé, c'est juste".

J'espère que comme ça, tout est clair...

PS : Et après, on dit que les mathématiciens ont du mal à communiquer mais c'est faux : c'est le langage mathématique qui est une langue difficile à parler...

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Or comme In est la matrice de l'identité de E dans la base B, ça m'a semblé étrange.

Oui, c'est vrai, I_n est bien la matrice de l'identité de E dans une base donnée. Dans n'importe quelle base, d'ailleurs.

Mais pas seulement. Si tu prends une base B_E=(e₁,...,e_n) de E, et une base B_F=(f₁,...,f_n) de F, avec f_i=u(e_i) (où u est l'isomorphisme de E sur F), alors la matrice de u relative aux bases B_E et B_F est bien celle avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.

Mais comme le dit IceDL, ça n'apprend pas grand-chose sur u. Rien du tout, pour être franc. Donc ça ne sert à rien et on ne l'utilise jamais.

-- françois

[invite11f2a3ff]

D'accord, maintenant c'est clair.

Bonne soirée

[Gwyddon]

Euh...

fderwelt tu as fait un mauvais quote, tu as quoté mon quote

Rendons à César ce qui lui est dû, la citation originelle est de l'auteur du post