Matrice d'inertie d'un Solide

[invite198dd5fb]

Bonjour, j'ai un solide composé d'une roue disque D et d'une tige AC
On me demande de calculer le moment d'inertie de ce solide (tige+ roue)

Auparavant on m'a demandé de calculer le moment d'inertie du disque D par
rapport à son axe qui est la tige AC. Aprés j'ai calculé le moment d'inertie
par rapport à l'un de ses diamètre.

Pour les deux calculs, j'ai utilisé le calcul d'un moment d'inertie par
rapport un axe....
Puis on me demande le moment cinétique du solide (roue + tige) au point C
(Centre de la roue)
Et là je vois pas comment je dois procéder au calcul

Merci de vos aides

Gib
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[Gaétan]

AC est un diamètre du disque ? et C, il se trouve où ?

M_C = m CG x v_C + I_C . (omega)
où (omega) est la vitesse de rotation du solide
G le centre de masse du solide
I_C le tenseur d'inertie en C.

Qu'est-ce qui a qui ne va pas ?
On te demande un moment d'inertie ou le moment cinétique ?

[invite198dd5fb]

AC est un diamètre du disque ? et C, il se trouve où ?

M_C = m CG x v_C + I_C . (omega)
où (omega) est la vitesse de rotation du solide
G le centre de masse du solide
I_C le tenseur d'inertie en C.

Qu'est-ce qui a qui ne va pas ?
On te demande un moment d'inertie ou le moment cinétique ?

Non AC n'est pas un diamètre du disque, par contre C et le cente du disque D

A---------(c)

Tu as la tige AC, qui est relié au centre du disque D, la tige traverse le disque.
On m'a demandé le moment d'inertie du disuqe D par rapport à l'axe AC, aprés on m'a demandé le moment d'inertie par rapport à l'un de ses diamètre.
Mais la question suivant me demande "déduire" la matrice d'inertie du Solide (Tige + Disque) au point C.

Aprés on me demande le moment cinétique du solide, mais là je ferai la matrice d'inertie du Solide * Vecteur_Rotation.

[Gaétan]

Ah ok. C est le centre et A n'appartient pas au plan du disque.
Je comprend pas l'ordre des questions. Pour moi, il faut calculer le moment d'inertie par rapport à un diamètre avant de le calculer par rapport à AC quelconque.
Je définirais un repère telque les axes X et Y définissent le plan du disque et l'axe Z soit pependiculaire au disuqe avec C comme origine. Et également de manière à ce que AC soit compris dans le plan CXZ, ce qui ne change rien à la généralité du problème.
Etant donné les symétries, les axes X, Y, et Z sont les axes principaux du disuqe et le tenseur d'inertie dans ces coordonnées est diagonalles, les produits d'inertie sont nuls. Comme les axes X et Y sont symétriques, il n'y a que deux éléments indépendants dans l'expression du tenseur, les moments d'inertie par rapport à X et Z.
Ensuite, tu n'as plus qu'à faire un changement de repère. Tu fais une rotation des axes X et Z autour de l'axe Y de telle manière que AC soit un axe de ton nouveau repère (une rotation CX => CA par exemple). Tu n'as plus qu'à écrire ton tenseur dans ces axes en utilisant,
I'^ij = aⁱ_x a^j_z I^xz
Où les a sont les matrice de transformation x^j = aⁱ_z x^z
où les xⁱ sont les axes.
La première colonne de ce tenseur donne le moment d'inertie par rapport ) AC
et tu n'as plus qu'à additionner le tenseur d'une tige exrpimé dans les mêmes axes.
En espérant ne pas avoir commis d'erreurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3e1953b5]

euh... Il me semble (mais il ne fait que me sembler) que c'est plus facile que ça...

Pour le disque : tu te places dans une base principale d'inertie, ie 2 vecteurs dans le plan du disque (x,y), et un 3e perpendiculaire (z), selon AC.

Dans cette base (x,y,z), ta matrice est diagonale :

A 0 0
0 B 0
0 0 C

(A, B, C représentent les moments d'intertie par rapport à chacun de tes axes)

Les deux axes selon x et y sont équivalents (par symétrie), donc les moments sont égaux : A=B.

A et B sont chacun égaux au moment d'inertie par rapport à un diamètre, et C est égal au moment d'inertie par rapport à l'axe AC.

Ensuite tu calcules au point C le tenseur d'inertie d'une tige dans la même base, qui sera aussi diagonal. Selon l'axe de la tige, si celle-ci est infiniment mince, le moment est nul. Les 2 autres axes serotn comme auparavant équivalents par symétrie. Ta matrice ressemble à ça :

A 0 0
0 A 0
0 0 0

Il te reste plus qu'à calculer A et aditionner les 2 matrices et le tour est joué

Désolé Gaëtan de t'avoir repris... Mais vu la question je suppose qu'on a les mêmes connaissances avec tenbug en matrices d'inertie et il me semble que tu en as beaucoup plus que nous parceque j'ai pas tout compris...

[Gaétan]

J'ai pas lu que AC est perpendiculaire au disque. Si c'est le cas, il n'y a pas de changement d'axes à faire, et pour le reste, on a dit pareil, si ce n'est que j'ai A = B dans la matrice du tenseur. (mais toi aussi je viens de vois )
Par contre, si AC n'est pas confondu avec l'axe z, il faut soit faire une rotation des axes, soit faire le produit du tenseur par la direction AC pour trouver le moment d'inertie pour cette direction. La première proposition est mieux puisqu'on demande d'additionner deux tenseur, dont celui de la tige est plus facile à exprimer si on prend AC comme axe. Mais on peut aussi faire un changement d'axe pour la tige. L'important est d'additionner les deux tenseur exprimé dans les mêmes axes.

Tu dois pas être désolé, je pense pas en savoir plus sur le sujet.