Matrice d'inertie

[invite8c52fc12]

Bonjour,
J'ai un devoir a rendre portant sur les matrices d'inertie.
Mais je ne comprend absolument rien sur ce sujet.
J'aimerai bien un petit coup de pouce pour pouvoir me lancer.
Entre autre Je voudrai bien savoir que definit concretement une matrice d'inertie (quel grandeur, quel phénomène,..)
Comment peut on trouver la forme de la matrice d'inertie (je sais qu'il ya de temps a autres des symetrie qui interviennent, comment les utiliser...) et quelques bases pour pouvoir tenir la route.
Merci
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[invite9c9b9968]

Salut,

La matrice d'inertie permet d'écrire la relation entre vitesse de rotation d'un solide et moment cinétique.

Dans certains cas, il y a simple proportionnalité entre les deux , et donc tu n'as pas besoins de la matrice d'inertie (celle-ci est diagonale en fait, le long de ce que l'on appelle axe principaux d'inertie). Mais dans la vie de tous les jours, la direction des vitesse de rotation et moment cinétique ne sont pas toujours identiques, et là intervient la matrice en question

En gros, et L est la matrice d'inertie.

[invite6f25a1fe]

Tout d'abord, les termes de ta matrice (c'est une matrice symétrique) doivent être en kg.m². Cette matrice représente la géométrie et la répartition de la masse de ton ensemble de solide. Cette matrice a une forme générale (il faut toujours la définir dans un repère et centré en un point) : on peux distinguer les termes diagonaux (moments d'inertie) et les autres (produits d'inertie). La matrice a donc une forme :
Tu peux bien sur simplifier cette matrice lorsque tu as des symétries. Par exemple, si ton solide est une sphere homogène, ta matrice en son centre de gravité sera diagonale avec tous les termes diagonaux égaux. Pour calculer les termes de cette matrice, il faut passer par la masse volumique : par exemple en cartésien, il faudra mettre
En général, tu calcule ta matrice dans le repère et centré au poitn qui te permet d'avoir un maximum d'axe de symétrie. Tu peux ensuite déplacer cette matrice à l'aide du théorème de Huygens. Tu peux également t'aider de table qui répertorie les matrices usuelles : la sphère, le cylindre, la poutre etc...
Pour un ensebme de solide, il va falloir que tu le découpe en petite solide usuel homogène (cube, sphère); calculer leur matrice d'inertie respective centré en leur centre de gravité, puis utiliser Huygens pour déplacer toutes ces matrices en un seul poin (en général le centre de gravité de l'ensemble de solide) puis sommer toutes tes matrices. (c'est très lourd en calcul)
Calculer cette matrice te permettra ensuite de calculer la moment cinétique (la formule simplifiée t'es donné par Gwyddon) puis le moment dynamique, en vu d'utiliser le théorème du moment dynamique.

[inviteb41785e0]

Bonjour. Excusez moi de remettre sur le tapis un vieux sujet, mais je me posais une petite question quant aux matrices d'inerties justement.

Tu peux bien sur simplifier cette matrice lorsque tu as des symétries. Par exemple, si ton solide est une sphere homogène, ta matrice en son centre de gravité sera diagonale avec tous les termes diagonaux égaux.

Cela est-il valable seulement lorsque le repère utilisé a pour origine le centre de la sphère?

Par exemple: si on prend un cylindre, ainsi qu'un repère. O est l'origine du repère, et est différent du centre d'inertie G du cylindre.



Considérons que G a pour coordonnées x=40 et y=-3
Le plan (xOy) est un plan de symétrie.
En écrivant la matrice donnée précédemment sous la forme:
A -F -E
-F B -D
-E -D C

on obtient (car (xOy) est un plan de symétrie) D=E=0. On aboutit à la matrice suivante (si je ne me trompe pas):
A -F 0
-F B 0
0 0 C

Mais n'existe-t-il aucun autre moyen de simplifier cette matrice? Par le biais de symétrie de révolution par exemple, ou autre...

Merci d'avance!

[A voir en vidéo sur Futura]