Matrice principal d'inertie

[invite338fa17e]

bonjour

je voudrais savoir les methodes général pour obtenir la matrice d'inertie diagonal



D'après ce que j'ai compris il faut trouver un repère orthonormé tel que les produit d'inertie soient nuls, et que pour cela il fallait chercher 2 plan de symétrie matérielle;

Pour le cylindre,sphère,disque,cone, c'est facile, mais pour le tétraèdre j'en voit 2 mais qui ne sont pas orthogonal...





Aussi dans un exo on me dit que j'ai un solide avec un tenseur en O dans le repère OXYZ:



puis que qu'il existe plein de repere orthonormé Ouvw tel que



et il demande comment on fait pour arriver à ce résultat

est que je peux diagonaliser la matrice (comme on ferait en math) pour l'expliquer ??
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[zoup1]

est que je peux diagonaliser la matrice (comme on ferait en math) pour l'expliquer ??

Oui, c'est cela, et les vecteurs propres sont les vecteurs de base dans laquelle ta matrice est diagonale.

[invitea3eb043e]

Oui, c'est cela, et les vecteurs propres sont les vecteurs de base dans laquelle ta matrice est diagonale.

Exact, mais on voit un paradoxe qui est l'existence de 3 plans de symétrie qui coupent le tétraèdre en 2 parties (par exemple le plan défini par Oz et la droite qui joint O au milieu de l'arête qui est dans xOy.
Logiquement, ces 3 plans doivent contenir les axes principaux d'inertie. Problème : ces 3 plans ne sont pas orthogonaux !
Où est la subtilité ? Ces 3 plans ont une droite commune (celle qui joint O au centre de gravité du triangle équilatéral en face. Cette droite est donc un des axes principaux (qui correspond à l'inertie C de la matrice). Quant aux 2 autres axes, ils sont n'importe où perpendiculaires à cet axe et correspondent à l'inertie A.
En fait, on pourrait dire la même chose avec un cône : tous les plans de symétrie doivent contenir les axes et ça fait trop.

[invite338fa17e]

Tout d'abord merci pour vos réponses

alors ma matrice diagonalisé donne ca:

et les vecteurs de la base de ma matrice sont toujours X Y et Z, c'est ca ? je n'ai pas la double inertie A dans ma matrice (4 différent de [15/4])...n'y aurait il pas un moyen d'arriver à la matrice recherché à partir de ma premiere matrice ? je pense au matrice de passage pour me retrouver dans un nouveau repère.



sinon pour l'histoire de la droite commune, j'ai pris les deux autres axes de sorte a avoir le plan de symétrie qui coupe mon tétraèdre en 2 et l'origine de ce repère sur le triangle isocèle:


Bon après pour calculer C et A, je sais que A=(C/2)+ (integrale_de)z²dm
et C=(integrale_de)x²+y²dm
mais j'ai l'impression que les bornes des intégralles vont me posaient des problèmes, je pense m'appuyer sur Thales/Pytahgore pour déterminer les bornes dans mon nouveau repère, c'est ca ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Dans le second schéma, qui représente la pyramide debout sur le triangle équilatéral, on voit qu'il va y avoir un axe de symétrie d'ordre 3 (la pyramide ne varie pas si on tourne de 120°). Cet axe sera donc axe principal d'inertie et les 2 autres seront perpendiculaires, donc dans le plan du triangle équilatéral et les valeurs propres seront les mêmes.
Pour les calculer, on peut commencer par estimer le moment d'inertie d'un triangle équilatéral autour de son centre d'inertie.

[invite09e5363f]

Bonjour

j'ai un problème j'ai à calculer la matrice d'inertie d'un tétraèdre, mais je m'embrouille complètement dans mes calculs.
Y a-t-il quelqu'un qui puisse me donner la réponse pour que je sache si ce que je trouve est bon ou pas?