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Dérivée covariante seconde d'un vecteur



  1. #1
    isozv

    Dérivée covariante seconde d'un vecteur

    Comment démontrer que la dérivée covariant seconde d'un vecteur est donnée par :

    $\nabla _k \left( {\nabla _j v_i } \right) = \partial _{kj} v_i - \left( {\partial _k \Gamma _{ji}^l } \right)v_l - \Gamma _{ji}^l \partial _k v_l - \Gamma _{ik}^r \partial _j v_r + \Gamma _{ik}^r \Gamma _{jr}^l v_l\Gamma _{jk}^r \partial _r v_i + \Gamma _{jk}^r \Gamma _{ri}^l v_l$

    -----


  2. #2
    Rincevent

    Re : Dérivée covariante seconde d'un vecteur

    salut,

    la démonstration est assez directe: tu utilises juste le fait que la dérivée covariante d'un vecteur (une forme ici puisque tu utilises les composantes covariantes) est un tenseur de 2ème ordre (0,2) et se dérive donc comme la métrique.

    pour revenir sur ta démo du théorème de Ricci, je ne suis pas certain qu'elle puisse être en toute rigueur nommée ainsi car la dérivée covariante de la métrique est nulle point final, et pas "nulle sur une géodésique".

    pour plus de détails, va voir-là par exemple:

    http://membres.lycos.fr/thebody/Deri...t_gradient.htm

  3. #3
    isozv

    Re : Dérivée covariante seconde d'un vecteur

    mais bon la définition de la dérivée covariant de la métrique se fait à partir de l'équation des géodésiques... dont il me semblait juste de dire qu'elle était "au moins" nulle là-dessus...

    Concernant la dérivée covariante seconde et la dérivée de la métrique le problème est (même si l'idée est très bonne) que les deux expressions sont quand même assez différentes. La dérivée covariante de la métrique état nulle je me demande si la dérivée covariante seconde n'est pas nulle aussi... comment puis-je alors trouver cette dernière dans le cas général ??

    Merci pour le site je connaissais déjà (c'est le seule à moitié complet sur le théorème de Ricci quand tu cherche sur Google sachant qu'il y a seulement 5 résultats pour l'expression "théorème de Ricci" 8-| )

  4. #4
    Rincevent

    Re : Dérivée covariante seconde d'un vecteur

    Citation Envoyé par isozv
    mais bon la définition de la dérivée covariant de la métrique se fait à partir de l'équation des géodésiques...
    pas pour moi.

    dont il me semblait juste de dire qu'elle était "au moins" nulle là-dessus...
    c'est juste. Je dis seulement que c'est incomplet: les propriétés de la métrique pour la connexion de Levi-civita sont plus générales que ça car il n'y a pas besoin de dériver le long d'une géodésique.

    Concernant la dérivée covariante seconde et la dérivée de la métrique le problème est que les deux expressions sont quand même assez différentes. La dérivée covariante de la métrique état nulle je me demande si la dérivée covariante seconde n'est pas nulle aussi... comment puis-je alors trouver cette dernière dans le cas général ??
    il y a eu un malentendu: je te disais juste que $\nabla_j v_i$ est un tenseur d'ordre 2 donc tu peux exprimer sa dérivée covariante avec la dérivée partielle et deux coefficients de connexion. Or, si tu écris cela et développes ensuite en utilisant la dérivée covariante de $v_i$, tu aboutis directement au résultat que tu veux.

    Merci pour le site je connaissais déjà (c'est le seule à moitié complet sur le théorème de Ricci quand tu cherche sur Google sachant qu'il y a seulement 5 résultats pour l'expression "théorème de Ricci" 8-| )
    vu comme ça...

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