Calcul Tensoriel - Dérivée covariante pour un tenseur général

[Lévesque]

Bonjour,

j'essai de me familiriser avec la notation sans indexe utilisée en Math, et aussi de me familiariser avec un jolie language.

Si un connaisseur pouvais vérifier, je n'ai pas encore trop confiance, surtout lorsqu'on passe de la notation sans indexe à la notation avec indexes. Sinon, à force d'en faire je deviendrai connaisseur!

J'essai, juste pour voir si je suis capable, de dériver la formule pour la dérivé covariante d'un tenseur d'ordre p (si quelqu'un sait où trouver une dérivation, le message perd un peu d'intéret). J'aurais pu le faire directement en composante, pour sauver des étapes, mais je voulais voir un peu ce que cachait la notation sans index.

Je le fais seulement pour un tenseur de type (p,0), i.e. p fois covariant. La formule générale est sur wiki.

Je commence avec un tenseur d'ordre 1, . [j'utilise une police différente pour le tenseur et sa composante, i.e. et ] Alors, la dérivée covariante est

,

où . Soit

,

avec on a alors suivant la règle de Leibniz

(1)

Jusque là, ça va? Si oui, alors pour le premier terme, on a




.

Si ça va encore jusque là, on remplace le dernier calcul pour chaque dérivée covariante dans (1), envoyant tous les termes avec Gamma à droite, et tout les termes avec une dérivé partielle à gauche:

(1)





Ce qui donne, en composantes,

,

ce qu'il fallait démontrer.

Merci pour le signalement d'erreurs!

Cordialement,

Simon
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[mtheory]

Salut,j'ai regardé rapidement mais ça m'à l'air d'être ça.
Je revérifirai dans peu de temps

Donc à priori

Rincevent devrait pouvoir te dire aussi.

[Lévesque]

Merci d'avoir regardé. Mais je serais surpris de n'avoir fait aucune boulette...

L'expression de mon tenseur T=TT..TTT c'est légal?
Et aussi que les composantes T^{abc...}=T^aT^bT^c... j'étais pas certain...

Pour Rincevent il y a longtemps que je l'ai vu (comme il est le seul à répondre à plusieurs de mes questions, je sais exactement quand il passe )

A+

Simon

[mtheory]

En fait un produit tensoriel de p vecteur donne un tenseur de rang p mais un tenseur de rang p n'est pas toujours décompossable en produit de vecteur de façon simple ou permise.
Pense au tenseur irréductible en MQ et théorie des groupes.
Donc tu aurais écrit T sans précisez au départ que T était un produit j'aurais tiqué

Maintenant si tu as pensé que tu pouvais toujours passer de T à TTTTT ben non c'est pas si simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Ok. Est-ce que ça veut dire que la preuve n'est valide que pour les tenseurs qui sont réductibles comme je l'ai supposé?

En fait, corrige moi si je me trompe. Je crois qu'on peut toujours écrire

T=T^{abc...}_{def...}dx^d...de l_a..?

Sauf qu'on ne peut pas toujours écrire T^{abc...}_{def...}=T^aT^b...T _d...?

C'est ça ou bien les deux ne sont pas vraies en général?

[Rincevent]

Ok. Est-ce que ça veut dire que la preuve n'est valide que pour les tenseurs qui sont réductibles comme je l'ai supposé?

la preuve que tu as donnée, oui. Pour en avoir une générale il faut appliquer Leibniz à un scalaire obtenu comme la contraction de ton tenseur avec des vecteurs...

C'est ça ou bien les deux ne sont pas vraies en général?

ta première égalité donne juste les composantes d'un tenseur dans une base de l'espace où il habite. Donc ça marche toujours. C'est la deuxième écriture qui n'est valable que dans des cas particuliers. Tu peux relier ça au fait que la fonction d'onde de deux particules intrinquées n'est pas factorisable (cf la remarque de mtheory sur le lien avec la MQ).

[Lévesque]

Merci!! C est bien gentil!

[julien_4230]

Bonjour,

Je propose une autre démonstration, qui est en fait la même, mais avec une notation différente.

Soit un tenseur d'ordre (p,q), tel que :

.

J'ai omis le symbole "produit tensoriel" pour simplifier les expressions.

Il vient :



Etant donné que :



et que :



on retrouve aisément la formule sur wikipedia :



tel que :

.

En espérant ne pas m'être planté quelque part (sachant que c'est la première fois que j'écris les tenseurs via latex... Tu parles d'un entraînement !),

Sincèrement.

[julien_4230]

Pardon j'ai oublié un signe - dans l'avant-avant dernière formule :