Bonjour,
Je dois déterminer un polynôme T à coefficients réels vérifiant la propriété : Pout tout t, T(cos(t))=cos(nt)
J'ai également une indication m'incitant à passer par la formule de moivre. Je ne vois pas trop comment s'y prendre. Merci de votre aide =)
Plusieurs manières :Envoyé par jules345
1) Par récurrence...
2) cos(nt) = Re(exp(int))
Ok si j'utilise la 2e méthode je suppose que je dois utiliser la formule du binôme
mais ensuite que suis-je censé faire ?
cos(nt) = Re(exp(int)) = Re((cos+isin)^n) = f(cos(t)) où f est le polynôme désiré.
Merci indian58 je m'attendais à quelque chose de plus compliqué en fait c'est plus simple que ce à quoi je m'attendais =)
Maintenant je dois montrer son unicité, donc je suppose que T1(cos(t))=T2((cos(t)) donc cos(nt)=cos(nt) donc T1=T2 ?
Oui et non, si n est le plus grand degré des deux, il suffit que tu montres qu'ils coïncident au-moins sur n+1 points distincts. Donc il te suffit de démontrer T1=T2 pour n+1 t tels que les cos(t) soient deux à deux distincts.
Euh je dois faire une récurrence alors ?
Nan, il te suffit juste de sortir n+1 t tels que les cos(t) soient 2 à 2 différents. Tu peux choisir t = pi/k avec 0<=k<=n. Et dans ce cas, T1 et T2 coïncident sur un nombre de points distincts, strictement supérieur à leurs degrés, donc T1 et T2 coïncident sur |R entier et sont donc égaux.
Attention, le n au-dessus désigne le plus grand des deux degrés entre T1 et T2.
Donc je sors n+1 de cos((n+1)t) c'est sa ?
Non, pas vraiment. T1 et T2 sont deux polynômes de degré n (tu peux facilement le démontrer). Il te suffit de montrer qu'ils coïncident sur n+1 points pour montrer qu'ils sont en fait égaux. Or, puisque T1(cos(t)=cos(nt) = T2(cos(t)), il te suffit de montrer que cos(t) prend en fait plus de n+1 valeurs lorsque t varie sur |R.
En fait c'est le coincide que je ne comprends pas ^^
Coïncider signifie être égal.
Tu as sûrement vu en cours que si deux polynômes de degré égal à N vérifie P(x0)=Q(x0),...,P(xN)=Q(xN) où x0,x1,...xN sont N+1 points deux à deux distincts alors P = Q.
Donc dans notre cas, tu vas appliquer cette propriété.
ok donc lorsque t varie dans R cos(t) varie dans [-1, 1] donc si j'ai bien compris je dois montrer que l'ensemble des n+1 entiers appartient à l'ensemble des réels appartenant à [-1, 1] ?
