Polynômes de Tchebychev.

invite61a47ef5 · 12/02/2009, 12h56

Bonjour voila j'ai une amie qui a un dm à faire sur les Polynômes de Tchebychev et apparament elle le trouve tres dur par rapport à d'habitude donc si quelqu'un aurait des informations concernant certaine questions sa serait gentil de me les faires parvenir .Merci d'avance.
1)Montrer que pour tout t ,cos(2t)=P2(cos t)où P2 est le polynôme défini par P2(x)=2x²-1.
2)a)En écrivant 3t=2t+t,montrer que pour tout t ,cos(3t)=2cos3(en exposant)t-cost-2sin² t cos t.
b)En déduire que cos(3t)=4 cos3(en exposant) t-3 cos t.On a donc cos(3t)=P3(cos t) où P3 est le polynôme défini par P3(x)=4x3(en exposant)-3x.
3)a)Exprimer cos(4t) en fonction de cos t.
b)Quel est le polynôme P4 tel que cos(4t)=P4(cos t)?
4)a)Démontrer que pour tout n[smb]appartient[/smb][smb]N[/smb],cos((n+1)t)+cos((n-1)t)=2cos(nt).cos t .
b)En déduire que cos(5t)=P5(cos t) où P5 est un polynôme que l'on précisera.
c)Montrer que P5(x)=x.Q(x) où Q est un polynôme de degré4 composé de termes d'exposants pairs.
d)Résoudre l'équation P5(x)=0.
5)a)Résoudre dans [0;[smb]pi[/smb]] l'équatio cos(5t)=0.
b)En déduire les valeurs de cos[smb]pi[/smb]/10 et cos3[smb]pi[/smb]/10.

**lapin savant** · 12/02/2009, 13h34

Salut,
le début est-il fait ? (1) --> 2)a) facile : formules de trigo sur le cos).

Ensuite :
3) Suivre la démarche effectuée en 2)
4)a) on rappelle que :
$\text{[math]}$

4)b) en déduire....(en gros, appliquer le truc au-dessus avec n=5)
4)c) Identifier un polynôme Q en factorisant P par x (càd que 0 est racine simple de P).

d) Utiliser ce qui a été fait avant

5)a) Ramener les racines de P5 au cercle trigo (x=cost)

b) en déduire...

invite61a47ef5 · 12/02/2009, 13h39

merci tout d'abord de m'avoir répondu est ce que ces reponses sont bonnes 3)a) j'ai trouvé 8cos4t - 8cos²t + 1

b) le polynôme est : 8x4-8x²+1 ?

**lapin savant** · 12/02/2009, 15h47

Envoyé par svt18

merci tout d'abord de m'avoir répondu est ce que ces reponses sont bonnes 3)a) j'ai trouvé 8cos4t - 8cos²t + 1

b) le polynôme est : 8x4-8x²+1 ?

Ok c'est bon.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**lapin savant** · 12/02/2009, 15h57

Envoyé par lapin savant

4)b) en déduire....(en gros, appliquer le truc au-dessus avec n=5)

En fait, n=4 doit être vachement plus pratique !

invite61a47ef5 · 12/02/2009, 17h28

pour la question 2)a) j'ai trouvé cos3t=2cos3(en exposant)t-cos t -2sinus² t *cos t ,mais pour ma question 2)b) j'trouve vraiment pas tu peux m'aider s'il te plait ?

**mx6** · 12/02/2009, 20h02

Bonsoir,
Je suis interéssé par cet exercice, pourras tu scanner le DM ?

**lapin savant** · 13/02/2009, 08h21

Envoyé par svt18

pour la question 2)a) j'ai trouvé cos3t=2cos3(en exposant)t-cos t -2sinus² t *cos t ,mais pour ma question 2)b) j'trouve vraiment pas tu peux m'aider s'il te plait ?

cos²x + sin²x = 1.....

(il faut exprimer en fonction du cosinus seulement).

invite2220c077 · 13/02/2009, 18h28

mx6 : Si tu es intéressé par des exercices avec de la trigo, j'ai celui-ci que j'aime bien :

Soient $\text{[math]}$ des réels donnés. Montrer que $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , si et seulement si, les coefficients sont nuls.

invite2220c077 · 15/02/2009, 00h18

Un autre exercice, pas fastoche, abordable par un T°S, un peu type prépa d'ailleurs à ce qu'il paraît, visant à démontrer l'égalité suivante, dûe à Euler :

$\text{[math]}$

On admettra qu'un polynôme $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ à coefficients réels ou complexes admet au plus $\text{[math]}$ racines et que s'il admet $\text{[math]}$ racines distinctes $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ le coefficient de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

1. Montrer que $\text{[math]}$ converge.

2. On définit $\text{[math]}$ . Préciser son ensemble de définition et montrer que $\text{[math]}$ . Justifier que $\text{[math]}$ est l'image du graphe de la fonction $\text{[math]}$ par une transformation simple que l'on précisera.

3.
a) Soit $\text{[math]}$ . Montrer qu'il existe un unique polynôme $\text{[math]}$ tel que, pour tout $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

b) Montrer que les racines de $\text{[math]}$ sont les réels $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ .

c) Montrer que $\text{[math]}$

4.
a) Montrer que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

b) En déduire la limite de $\text{[math]}$ .

**mx6** · 15/02/2009, 14h25

Bonjour,
Pour l'exercice 1, je tourne en rond, je sens qu'il y a une démonstration par l'absrude, mais j'arrive pas à demontrer l'absurdité.. Faut il utiliser cette formule: cos(2x)=2cos²(x)-1 ?
Pour l'exercice 2, tu as oublié de définir Sn je crois.

invite2220c077 · 15/02/2009, 14h32

Salut,

Pour l'exercice 1, utilise la formule d'Euler et la propriété que j'ai énoncée dans l'exercice 2, comme quoi un polynôme ne peut admettre plus de racines que son degré.

Pour l'exercice 2, $\text{[math]}$ est la somme des inverses des carrés d'entiers.

invite2220c077 · 24/02/2009, 15h05

Salut,

Pour ceux que ça intéresserait, j'ai tapé ma démo (exercice 2) dans un fichier PDF : http://www.uniontvdfrance.com/images...plexes_fin.pdf

Toute correction est la bienvenue.

**Thorin** · 24/02/2009, 18h24

Ton serveur m'affirme que ce fichier n'est pas dessus...

Sinon, pour l'exo1, une méthode simple dans l'esprit et dans les calculs (bien que un peu longuette à rédiger si l'on prend la peine de détailler) est de dériver judicieusement, puis...

invite2220c077 · 24/02/2009, 18h29

Oui, je l'ai enlevé car j'ai vu une petite erreur, je le re upload dans les minutes à venir.

**Thorin** · 24/02/2009, 18h30

Et, toujours pour l'exo1, on peut remarquer que, si p et k ne sont pas égaux,
$\text{[math]}$ , puis...

inviteec581d0f · 24/02/2009, 18h31

j'ai le fichier si ça t'intéresse .. comme ça on aura une boulette hihi

j'aimerais bien que tu détailles un peu plus pour la dérivation ^^ si t'as le temps

**Thorin** · 24/02/2009, 18h55

l'idée, c'est d'éliminer tous les coefficients, un par un, en itérant ;
pour cela, on dérive 2 fois (pour retomber sur du cos !), puis on multiplie l'égalité d'origine par le bon nombre, et on l'ajoute à l'égalité obtenue en dérivant.
On a ainsi tué un coefficient. Ensuite, on refait de même, jusqu'à avoir tué tous les coefficients sauf 1. on a alors que ce survivant est égal à 0.
Et on recommence toute la procédure, pour tous les coefficients !

inviteec581d0f · 24/02/2009, 19h01

C'est cool ! vraiment

tu as eu cette idée comment ?

**mx6** · 24/02/2009, 19h15

Un peu compliqué à rédiger ton idée Thorin je trouve.. ^^

**Thorin** · 24/02/2009, 19h24

pas forcément...on peut se contenter d'un "on itère..." pour s'épargner la lourdeur de la rédaction propre par récurrence...

Mais au moins, c'est pas calculatoire, et ya pas de formules d'euler à utiliser

cet exo est un des classiques ; en fait, en algèbre linéaire, on est souvent amené à montrer ce genre de choses, en remplaçant les fonctions cosinus par d'autres choses...(liberté d'une famille dans un espace vectoriel).

dans le même genre :

montrer que
si $\text{[math]}$ , alors, tous les $\text{[math]}$ sont nuls...
(je crois que l'énoncé est correct

)

invite2220c077 · 24/02/2009, 20h36

J'ai re uploadé le fichier, je n'ai toujours pas réussi à démontrer la deuxième inégalité (là où était mon erreur) ...

**Thorin** · 24/02/2009, 20h55

PS, sauf erreur :
$\text{[math]}$

invite2220c077 · 24/02/2009, 20h59

Joli !

**Thorin** · 24/02/2009, 21h06

Et d'ailleurs, pour la première inégalité, elle se déduit directement de $\text{[math]}$ , qui est, je pense, quelque chose qu'on peut considérer comme connu.

Si on veut le démontrer tout de même, on peut utiliser la formule de taylor lagrange avec reste intégral (si on la connait), ou plus élémentairement, étudier la fonction x-tan(x), ce qui est je pense bien plus simple que la fonction que tu as étudié !
On doit aussi pouvoir utiliser la convexité de tan, si on suppose connue la théorie sur la convexité.

invite2220c077 · 24/02/2009, 21h09

En effet, j'avais oublié toutes ces inégalités !

invite2220c077 · 24/02/2009, 21h12

Je me permets de modifier mon PDF avec tes réponses !

**mx6** · 24/02/2009, 22h10

Bravo Thorin, jolie démonstration ? Tu peux me dire en quelle prépas tu y est ? Pour savoir un peu le niveau

**Thorin** · 24/02/2009, 22h29

Envoyé par -Zweig-

Je me permets de modifier mon PDF avec tes réponses !

J'en suis flatté

Avant d'aller au lit, je poste la (en fait, une, mais j'ai la flemme de réfléchir à d'autres solutions possibles) solution, si jamais ça intéressait quelqu'un, de ce que j'ai proposé tout à l'heure (le truc avec les exponentielles) :

Cliquez pour afficher

**mx6** · 24/02/2009, 22h33

J'ai lu ta solution, mais quand tu fais la limite de ton polynôme en moins l'infini ca fait 0 mais A1 n'est pas compris dans le calcul de cette limite, peux tu détailler ?

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