Polynômes de Tchebychev.

[invitec317278e]

on divise par e^x, ça donne :

on fait ensuite tendre x vers moins l'infini, et donc, justement la limite de va rester , alors que celle de tous les autres termes de la somme sera 0. on arrive donc à l'égalité
-----

[invite9a322bed]

Ouai je vois plus clair, merci, après on écrit dans l'énoncé on réitère n fois =) Ca dépend de l'humeur du correcteur !^^

[invitec317278e]

Dans ces cas là, je mets sur mes copies "On conclut par une récurrence dont l'hérédité se fait ainsi", et ça passe....l'important est de convaincre le correcteur, via la globalité du devoir, que tu sais de quoi tu parles, que quand tu dis quelque chose, même si tu donnes pas tous les détails, c'est pas du bluff, mais que tu pourrais le faire si on te le demandait.
Par exemple, c'est sur que t'auras pas les points en disant ça à cette question si t'as oublié l'hérédité à une vraie récurrence 2 questions avant !

[inviteec581d0f]

par une récurrence immédiate et c'est bouclé IMHO !

[invite2220c077]

Sinon le reste, est-ce correct ?

[invitec317278e]

J'aimerais que tu démontres proprement l'unicité du polynôme, dans la question 3 ; peut être que tes arguments suffisent, mais si je devais le faire, je ne crois pas que ce serait cela que je dirais, donc je voudrais voir comment tu te sers exactement des tiens.

[invite2220c077]

Hum, c'est tellement évident que je ne vois pas comment le démontrer autrement ... On a notre polynôme trouvé et on suppose qu'il existe un autre polynôme tel que . Et on conclut d'après la propriété d'identification de deux polynômes égaux ... Non ?

T'avais pensé à quoi ?

[invitec317278e]

Et comme tu le vois, tu n'as pas besoin de te servir de l'unicité du développement (cos+i.sin)^n pour montrer l'unicité du polynôme, c'est ce qui m'embêtait.

Il y a tout de même une chose à dire, qui a son importance, même si c'est évident, c'est que cot² prend une infinité de valeurs différentes sur l'intervalle considéré. (si elle ne prenait qu'un nombre fini de valeurs, ce qui est absurde, on ne pourrait identifier les polynômes, et c'est je pense quelque chose qu'il faut signaler quand on étudie la composée d'une polynôme et d'une autre application ; en effet, étudier par exemple P(cos(x)) et P(x), c'est pas du tout la même chose...)


Au passage, toujours dans des détails, j'ai lu ta solution de l'exo1, et j'ai une remarque :
ce qui permet de conclure n'est pas seulement que admette une infinité de solution, mais aussi que cette infinité de solutions de la variable "t" corresponde aussi à une infinité de solution de la variable "z". Si par exemple, l'infinité de solution de était tous les nombres congrus à 0 modulo , alors, en z, on n'aurait pas une infinité de solution, mais uniquement une, et on ne pourrait pas dire que le polynôme en z admet une infinité de racines.
C'est une petite subtilité, mais c'est une subtilité qui peut faire la différence entre le vrai et le faux sur un exo tordu.

[invite2220c077]

Ou peut-être attendais-tu à ce que je démontre cette propriété ?

Avant ça, on montre si pour tout réel , alors pour tout

On divise notre polynôme par et par passage à la limite on a :



D'où . En réitérant ce raisonnement on montre que tous les sont nuls.

Soient et deux polynômes tels que pour tout et tels que (un même raisonnement peut se faire avec deux polynômes ayant des degrés différents)



Et donc, d'après la démo ci-dessus, , d'où

[invitec317278e]

Pour donner un exemple de ce dont je parlas sur cot², et l'importance que ça a que cot² prenne une infinité de valeurs :

on se place sur le segment [0,5].
est la partie entière de x.

Et bien on peut trouver 2 polynomes et tels que :
, avec P différent de Q...

[invite2220c077]

Merci pour ces précisions !