Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Matrice d'un endomorphisme



  1. #1
    _ShAkKa_

    Matrice d'un endomorphisme


    ------

    Bonjour tout le monde , je suis en révision pour la rentrée et j'ai un petit problème sur un exo de math, je mexplqiue ^^

    soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est



    Déterminer Ker f et Imf.

    Bon pour Ker f ca va, j'ai réussi
    puisque(si je me trompe pas) j'ai pour tout (x,y,z) de R3
    f(x) = 2x-y-z
    f(y)=-x+2y-z
    f(z)=-x-y+2z

    donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)

    Mais je bloque pour Im f.
    J'ai regardé la correction, et ils disent que
    Im f ={ (x,y,z) de R3/x+y+z=0}. Ca déjà je comprends pas d'où ca vient, et ensuite ils disent en conclusion que Im f = Vect( (2-1-1) , (-1,2,-1) ).. j'ai pas tout compris non plus, si quelqu'un pouvait m'expliquer

    merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    GrisBleu

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Salut

    soit X de Im f. Alors, il existe Y tel que X=f(Y). Prend un Y quelconque (a,b,c) et alors X=(2a-b-c,-a+2b-c,-a-b+2c) et donc la somme des composantes de X est nulle. La tu as X dans Im f => x+y+z=0. Je te laisse la reciproque.

    Pour avoir une famille generatrice, c est pas complique : Imf=Vec(f(1,0,0),f(0,1,0),...) . Remplace et tu as le resultats. C est la definition de Im f. Par contre ce ne doit pas etre une base

  4. #3
    skydancer

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Citation Envoyé par _ShAkKa_ Voir le message
    Bonjour tout le monde , je suis en révision pour la rentrée et j'ai un petit problème sur un exo de math, je mexplqiue ^^

    soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est



    Déterminer Ker f et Imf.

    Bon pour Ker f ca va, j'ai réussi
    puisque(si je me trompe pas) j'ai pour tout (x,y,z) de R3
    f(x) = 2x-y-z
    f(y)=-x+2y-z
    f(z)=-x-y+2z

    donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)
    La matrice est composé ainsi ;
    (f(e1) f(e2) f(e3))
    e1,e2,e3 étant la base canonique.
    Tu peux donc remaruqer que :
    f(e1) + f(e2) + f(e3) = 0;
    <=>f(e1+e2+e3) = 0;
    donc

    Citation Envoyé par _ShAkKa_ Voir le message
    Mais je bloque pour Im f.
    J'ai regardé la correction, et ils disent que
    Im f ={ (x,y,z) de R3/x+y+z=0}. Ca déjà je comprends pas d'où ca vient, et ensuite ils disent en conclusion que Im f = Vect( (2-1-1) , (-1,2,-1) ).. j'ai pas tout compris non plus, si quelqu'un pouvait m'expliquer

    merci d'avance
    C'est un argument du genre :

    Puis il s'agit de trouver 2 vecteurs orthogonaux à (1,1,1) et non colinéaires. par exmple : (2-1-1) , (-1,2,-1)

  5. #4
    Romain-des-Bois

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    C'est un argument du genre :
    T'es sûr de toi, là ?


    Romain

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Romain-des-Bois

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Citation Envoyé par _ShAkKa_ Voir le message
    donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)
    Je comprends pas comment tu arrives au résultat

    mais je suis d'accord avec la preuve de skydancer :
    Citation Envoyé par skydancer Voir le message
    La matrice est composé ainsi ;
    (f(e1) f(e2) f(e3))
    e1,e2,e3 étant la base canonique.
    Tu peux donc remaruqer que :
    f(e1) + f(e2) + f(e3) = 0;
    <=>f(e1+e2+e3) = 0;
    donc


    Par contre, je suis pas d'accord avec :
    C'est un argument du genre :
    ce n'est vrai que si f est un projecteur !

    (si quelqu'un peut in/confirmer)


    Romain

  8. #6
    skydancer

    Re : matrice d'un endomorphisme

    je pense que t'as raison, ca doit plutot etre quelque chose du genre :
    dim Ker f + dim Imf = dim R3

  9. Publicité
  10. #7
    _ShAkKa_

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Citation:
    Posté par _ShAkKa_
    donc on a x=y=z soit Ker f = Vect(1,1,1) (j'ai le même résultat que mon bouquin mais je sais pas si la démo est bonne)
    Je comprends pas comment tu arrives au résultat
    j'ai justifié en disant que, puisque Ker f ={ (x,y,z) de R3 /x=y=z}, Ker f =Vect(1,1,1) car c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de (1,1,1) (enfin je crois, ou alors je me gourre tout seul )

    sinon pour le supplémentaire, c'est une propriété qu'il faut démontrer, mais après avoir calculé Ker f et Im f


    sinon merci pour les réponses

  11. #8
    doudache

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Par contre, je suis pas d'accord avec :


    ce n'est vrai que si f est un projecteur !
    Non, c'est vrai dans plus de cas (d'ailleurs c'est vrai dans le cas de l'endomorphisme de l'exercice) : il suffit que , ce qui équivaut à ce que la suite des rangs des fn soit constant. C'est aussi équivalent à dire que est un isomorphisme. Pour un projecteur, cette même application vaut l'identité.

    Pour _ShAkKa_, je te conseille de regarder le message de wlad_von_tokyo.

  12. #9
    alphons

    Re : matrice d'un endomorphisme

    Bonjour,

    Je reprends cet exo qui est ancien mais j'ai le même énoncé.
    Une fois qu'on a nos vecteurs de base pour Imf et Kerf, on nous demande d'écrire la matrice de f dans la base adaptée à cette supplémentarité.
    Notre base est composée des vecteurs :
    v1=(1,1,1)
    v2=(2,-1,-1)
    v3=(-1,2,-1)

    f(x,y,z)=(2x-y-z ; -x+2y-z ; -x-y+2z)

    Donc pour avoir la matrice dans cette base composée des vecteurs v1,v2 et v3 ; on calcule f(v1), f(v2), f(v3). Je trouve alors la matrice :
    0 6 -3
    0 -3 6
    0 -3 -3

    Or la correction ne me donne pas la même matrice. Elle me donne la matrice :

    0 0 0
    0 3 0
    0 0 3

    Je ne vois pas où est mon erreur.
    Merci pour votre aide.

  13. #10
    sylvainc2

    Re : matrice d'un endomorphisme

    C'est pas f(v1),f(v2) et f(v3) que tu dois mettre dans les colonnes de la matrice c'est plutôt l'écriture de chacun dans la base (v1,v2,v3) comme ceci:
    f(v1)=(0,0,0) = 0v1 + 0v2 + 0v3 -> 0,0,0 dans la colonne 1
    f(v2)=(6,-3,-3) = 0v1 + 3v2 + 0 v3 -> 0,3,0 dans col 2
    f(v3)=(-3,6,-3) = 0v1 + 0v2 + 3v3 -> 0,0,3 dans col 3

  14. #11
    guy_roland93

    Smile Re : matrice d'un endomorphisme

    Bonjour ! je crois qu'il y a une petite erreur ; c'est plutôt : Im f = Vect( (2-1-1) , (-1,-1,2) ) au lieu de Im f = Vect( (2-1-1) , (-1,2,-1) ); en réalité cette image est issue de la matrice A, regarde bien la partie des x et celle des z ... tu comprendras aussi en vérifiant d'autre résultats.

  15. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : matrice d'un endomorphisme

    5 ans après ?????

  16. Publicité

Discussions similaires

  1. la matrice d'un endomorphisme
    Par amal20 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 30/10/2012, 22h32
  2. Matrice et endomorphisme
    Par JP357 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 26/09/2009, 03h57
  3. Matrice d'un endomorphisme
    Par nel59 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 25/09/2009, 14h00
  4. Endomorphisme et matrice
    Par enjoy03 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 13
    Dernier message: 24/07/2009, 23h14
  5. matrice d'un endomorphisme
    Par J.B dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 09/03/2008, 20h52