Endomorphisme et matrice

[enjoy03]

Bonjour, il y a une partie du cours que je ne comprends pas du tout. Voilà un parfait exemple :

Soit P appartenant à R_n[X], on pose :

f(P)= (X²-X)P"(X)+(X+1)P'(X)-P(X)

J'ai montré que f était un endomorphisme mais je ne comprends pas du tout comment donner la matrice dans la base canonique R_n[X]

Si quelqun pouvait m'expliquer cette histoire ça éclaircirait pas mal de chose pour moi en algèbre linéaire.

Merci
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[Coincoin]

Salut,
Quelle est la base canonique de Rn[X] ? Quelle est l'image par f de chacun des éléments de cette base ?

[enjoy03]

La base canonique de Rn[X] est (1,X,X²,...,X^n) ...
Après les images par f j'ai essayé de les calculer mais bon j'comprends pas du tout le concept en fait. On a jamais fais d'exo dessus et ça reste assez mystérieux...

[Coincoin]

Les vecteurs de ta base sont les X^k. Que vaut f(X^k) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Shamir88]

Les vecteurs de ta base sont les X^k. Que vaut f(X^k) ?

Exactement !!!!!!!!!

[hekla]

Que représentent les coefficients d'une matrice?
Une fois que tu as l'image des vecteurs de base, tu dois savoir obtenir la matrice de l'endomorphisme.

[enjoy03]

Mais le soucis c'est pour les images... On obtient pas frnachement une relaion simplifiée

[enjoy03]

Ok je pense avoir compris...
En calculant f(x^k) on trouve :
(k²-1)X^k + (2k-k²)X^(k-1) avec k un entier naturel compris entre 0 et 1
Cette formule va me permettre de constituer la k-ième colonne de ma matrice non ? en remplaçant successivemnt le X par les valeurs (1,X,X²...X^n) ? Je vais donc obtenir une matrince carré avec n+1 ligne et n+1 colonne ?

Merci pour l'aide en tous cas.

[enjoy03]

Je vais récapituler de manière un peu plus clair ma démarche :

Pour tout k appartenant aux entiers naturels allant de 1 à n (déjà ici ne faudrait t'il pas que je prenne également 0 ? La base canonique de Rn[X] étant (X^k) avec k appartenant aux entiers allant de 0 à n...) on calcule :

f(X^k) = (2k-k²)X^k-1 + (k²-1)X^k
(on voit ici pourquoi j'ai enlevé le cas k=0 ... )

a partir de cet expression j'obtient une matrice carré à n+1 lignes et n+1 colonnes :
la première ligne est : ( 1, O, ......., O )
la seconde : (0,0, ....,0)
la troisième : ( 0, 3,-3,O,.....O)
la k-ième : (0,0,...,0,2k-k², k²-1,0....,0 )
la n + 1 ième : (0,0,....,0,2n²-n,n²-1)

Je ne suis pas persuadé de mon coup si quelqun pouvait me confirmer ou m'infirmer ça serait sympa

[g_h]

Tu as déjà fait un pas dans la compréhension

Il me semble que ton résultat n'est pas bon par contre. Le premier terme de la première ligne est -1 (car f(1) = -1) et non pas 1
A part ça tes 3 premières lignes sont ok

Mais la matrice se remplit en colonnes (1ère colonne = image de 1 par f, 2eme colonne = image de X par f, ...), donc pour moi la keme ligne et n+1ème lignes sont fausses.

Preuve : f(X^n-1) ne peut pas avoir de terme de degré n, donc l'élément à la ligne n+1 et à la colonne n vaut forcément 0.

Tu y es presque

[enjoy03]

J'ai fais une erreur en oubliant une ligne ! normalement je devrais avoir
1ère ligne : (-1,0,...0)
2ème ligne : ( 0, 1,....,0)
3ème ligne : ( 0,0,....,0)

Par contre après je retrouve la même chose je vais re regarder le calcul mais j'avais vérifier normalement ça marchait >.<

[g_h]

J'ai p'têtre pas bien regardé hier, oups. Par contre ce n'est toujours pas ça.

tu calcules f(1), f(X), f(X²), ..., et tu remplis selon les colonnes, rien ne devrait t'embêter

[enjoy03]

Oui il y avait encore une erreur dans ma seconde ligne, c'est bon je l'ai corrigé. Merci en tout cas ça m'a permis de bien comprendre le fonctionnement.

[enjoy03]

En fait j'avais tout décalé, mais c'est bon j'ai trouvé mon erreur.