Endomorphisme et matrice
Bonjour, il y a une partie du cours que je ne comprends pas du tout. Voilà un parfait exemple :
Soit P appartenant à Rn[X], on pose :
f(P)= (X²-X)P"(X)+(X+1)P'(X)-P(X)
J'ai montré que f était un endomorphisme mais je ne comprends pas du tout comment donner la matrice dans la base canonique Rn[X]
Si quelqun pouvait m'expliquer cette histoire ça éclaircirait pas mal de chose pour moi en algèbre linéaire.
Merci
Salut,
Quelle est la base canonique de Rn[X] ? Quelle est l'image par f de chacun des éléments de cette base ?
La base canonique de Rn[X] est (1,X,X²,...,X^n) ...
Après les images par f j'ai essayé de les calculer mais bon j'comprends pas du tout le concept en fait. On a jamais fais d'exo dessus et ça reste assez mystérieux...
Les vecteurs de ta base sont les X^k. Que vaut f(X^k) ?
Exactement !!!!!!!!!Envoyé par Coincoin
Que représentent les coefficients d'une matrice?
Une fois que tu as l'image des vecteurs de base, tu dois savoir obtenir la matrice de l'endomorphisme.
Mais le soucis c'est pour les images... On obtient pas frnachement une relaion simplifiée
Ok je pense avoir compris...
En calculant f(x^k) on trouve :
(k²-1)X^k + (2k-k²)X^(k-1) avec k un entier naturel compris entre 0 et 1
Cette formule va me permettre de constituer la k-ième colonne de ma matrice non ? en remplaçant successivemnt le X par les valeurs (1,X,X²...X^n) ? Je vais donc obtenir une matrince carré avec n+1 ligne et n+1 colonne ?
Merci pour l'aide en tous cas.
Je vais récapituler de manière un peu plus clair ma démarche :
Pour tout k appartenant aux entiers naturels allant de 1 à n (déjà ici ne faudrait t'il pas que je prenne également 0 ? La base canonique de Rn[X] étant (Xk) avec k appartenant aux entiers allant de 0 à n...) on calcule :
f(Xk) = (2k-k²)Xk-1 + (k²-1)Xk
(on voit ici pourquoi j'ai enlevé le cas k=0 ... )
a partir de cet expression j'obtient une matrice carré à n+1 lignes et n+1 colonnes :
la première ligne est : ( 1, O, ......., O )
la seconde : (0,0, ....,0)
la troisième : ( 0, 3,-3,O,.....O)
la k-ième : (0,0,...,0,2k-k², k²-1,0....,0 )
la n + 1 ième : (0,0,....,0,2n²-n,n²-1)
Je ne suis pas persuadé de mon coup si quelqun pouvait me confirmer ou m'infirmer ça serait sympa
Tu as déjà fait un pas dans la compréhension
Il me semble que ton résultat n'est pas bon par contre. Le premier terme de la première ligne est -1 (car f(1) = -1) et non pas 1
A part ça tes 3 premières lignes sont ok
Mais la matrice se remplit en colonnes (1ère colonne = image de 1 par f, 2eme colonne = image de X par f, ...), donc pour moi la keme ligne et n+1ème lignes sont fausses.
Preuve : f(Xn-1) ne peut pas avoir de terme de degré n, donc l'élément à la ligne n+1 et à la colonne n vaut forcément 0.
Tu y es presque
J'ai fais une erreur en oubliant une ligne ! normalement je devrais avoir
1ère ligne : (-1,0,...0)
2ème ligne : ( 0, 1,....,0)
3ème ligne : ( 0,0,....,0)
Par contre après je retrouve la même choseje vais re regarder le calcul mais j'avais vérifier normalement ça marchait >.<
J'ai p'têtre pas bien regardé hier, oups. Par contre ce n'est toujours pas ça.
tu calcules f(1), f(X), f(X²), ..., et tu remplis selon les colonnes, rien ne devrait t'embêter
Oui il y avait encore une erreur dans ma seconde ligne, c'est bon je l'ai corrigé. Merci en tout cas ça m'a permis de bien comprendre le fonctionnement.
En fait j'avais tout décalé, mais c'est bon j'ai trouvé mon erreur.
