endomorphisme d'une matrice

invite0c6e23b6 · 29/05/2009, 19h48

bon aprem a tous même si y a ceux qui ont le soir lol
bon je pose ma question
en fait j'ai 2
comment représenter la matrice d'un endomorphisme dans une base!!
es ce que toute matrice nilpotente est non inversible dem si c'est le cas

**Flyingsquirrel** · 29/05/2009, 20h29

Salut,

Envoyé par raji1990

comment représenter la matrice d'un endomorphisme dans une base!!

Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de la base par ton endomorphisme. Si l'endomorphisme en question est $\text{[math]}$ et la base $\text{[math]}$ , la matrice de $\text{[math]}$ dans cette base est $\text{[math]}$ .

Envoyé par raji1990

es ce que toute matrice nilpotente est non inversible

Oui.

invitea6f35777 · 29/05/2009, 23h06

Salut

Pour la démonstration que toute matrice nilpotente n'est pas inversible c'est extrèmement simple, suppose que A est nilpotente et que k>0 soit tel que:
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$
A ne peut pas être inversible sinon il existerait une matrice B telle que
$\text{[math]}$
et alors
$\text{[math]}$
cela contredit les hypothèses sur k.

**Flyingsquirrel** · 30/05/2009, 10h18

Envoyé par KerLannais

Pour la démonstration que toute matrice nilpotente n'est pas inversible c'est extrèmement simple, suppose que A est nilpotente et que k>0 soit tel que:
$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$

Sans raisonnement par l'absurde : comme $\text{[math]}$ , il existe un vecteur $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Mais $\text{[math]}$ donc le noyau de $\text{[math]}$ contient le vecteur non nul $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ n'est pas inversible.

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