Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

commutativité matrice et endomorphisme associé



  1. #1
    Siamon

    commutativité matrice et endomorphisme associé


    ------

    Bonjours à tous,

    Voilà j'ai un petit doute et j'aimerais que vous me disiez si mon raisonnement est faux (et si oui où est-il faux )
    Voilà le problème :

    Soit A une matrice réelle carré d'ordre n et u l'endomorphisme de R^n canoniquement associé,

    il faut montrer que : (il existe un pseudo-inverse à A) => rang(u)=rang(u²)

    (définition d'un pseudo inverse : A' est un pseudo-inverse de A implique que AA' = A'A , A = AA'A et A' = A'AA' )

    Alors j'ai dit que Img(u²) C Img(u) (toujours vrai)
    Puis, soit v l'endomorphismede R^n canoniquement associé à A', soit x appartenant à R^n, on a u(x) = u°v°u(x)
    u(x) appartient à Img(u) et comme v°u = u°v on a Img(u) qui est stable par v donc
    u°v°u(x) = u(x') avec x' qui appartient à Img(u) donc u(x') appartient à Img(u²)

    Donc Img(u) = Img(u²) donc rang(u) = rang(u²)

    Qu'en penssez-vous ?

    -----

  2. #2
    Woggi

    Re : commutativité matrice et endomorphisme associé

    Citation Envoyé par Siamon Voir le message
    u(x) appartient à Img(u) et comme v°u = u°v on a Img(u) qui est stable par v donc
    u°v°u(x) = u(x') avec x' qui appartient à Img(u) donc u(x') appartient à Img(u²)
    Je comprends pas très bien ce passage mais je suis pas assez bon pour oser te dire que c'est faux. J'aurais plutôt procéder de la manière suivante:

    im(u^2) C im(u) (OK)
    Reste à montrer im(u) C im(u^2)
    Soit y élement de im(u). Il existe x (élement de R^n) tel que u(x)=y
    ie y=u°v°u(x) or v°u=u°v donc y=u°u°v(x) ie il existe x' (que l'on choisit égal a v(x)) élement de R^n tel que y=u°u(x') d'où y est élement de im(u^2) et du coup im(u^2)=im(u).

  3. #3
    Siamon

    Re : commutativité matrice et endomorphisme associé

    Oui c'est la même chose (en faite si je détail ça donne : "u(x) appartient à Img(u) et comme v°u = u°v on a Img(u) qui est stable par v donc
    u°v°u(x) = u(x') avec x' qui appartient à Img(u)" et là je revient à la première équation où on avait u(x)=u°v°u(x)=u(x') avec x' qui appartient à Img(u)
    donc on peut dire qu'il existe un y tq u(y)=x'
    et donc finallement que pour tout x appartenant à R^n il existe un y tq u(x)=u°u(y) donc que Img(u)CImg(u²).

    Mais ce qui me dérange c'est que le question ne parle que des dimensions, ça me parrait bizarre qu'on arrive "si facilement" à prouver que non seulement les dimensions sont égales mais que les sev sont égaux .... il y aurait-il une érreur de raisonnement ?

Discussions similaires

  1. Matrice d'un endomorphisme
    Par _ShAkKa_ dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 06/08/2015, 15h07
  2. endomorphisme avec matrice et bases
    Par cranberry dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 10
    Dernier message: 02/03/2007, 14h14
  3. commutativité de deux opérateurs
    Par dhahri dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 12/12/2006, 11h33
  4. Commutativité de IR
    Par Eric78 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 15
    Dernier message: 22/02/2005, 22h49