Commutativité de IR

[invite3f53d719]

Bonjour, j'ai une question conne...

Comment on montre que pr tt (a,b)€IR^2, a*b = b*a?
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[invite88ef51f0]

Salut,
Ca fait pas partie des axiomes de construction de R ? (En fait, j'en sais rien... )

[invite4793db90]

Salut,

la construction de R se fait classiquement à partir de Q (complété - suites de Cauchy), corps des fractions de Z, qui lui-même dérive de N dont l'axiomatique (Peano) garantit que c'est un monoïde commutatif.

Sinon, il y a un fil récent où il est dit que si un corps (commutatif ou non) totalement ordonné possède la propriété de la borne supérieur, alors il est isomorphe à R. (Ceci dit, je n'ai pas vu de démo)

Cordialement.

[invitea77054e9]

En fait il faut être rigoureux quand on parle de lR.
Quand on parle de lR, il s'agit le plus souvent du corps commutatif lR muni des lois de composition internes + et *. Le fait que lR soit commutatif est une propriété sous-jacente.

Par contre, il peut arriver qu'on le considère comme un ensemble d'élèments construits par exemple à partir de Q et des suites de Cauchy.

Je pense pas que ce soit rigoureux, mais on pourrait démontrer la commutativité de lR en montrant celle de lN puis celle de Z puis celle de Q et enfin celle de lR.
Par exemple, s'il s'agit de démontrer que * est commutative pour des élèments de lN, on peut constater qu'effectuer a*b revient à additionner a fois b, mais il revient au même d'additionner b fois a.
On montre tout aussi aisément la commutativité de * dans Z.
Pour tout élèment x et y de Q, on sait qu'il existe p, q, r, s dans Z tels que x=p/q, y=r/s .
Donc x*y=(p/q)*(r/s)=(p*r)/(q*s) .
Or p*r=r*p et q*s=s*q d'où x*y=(p*r)/(q*s)=(r*p)/(s*q)=(r/s)*(p/q)=y*x . Ceci achève de prouver la commutativité de * dans Q.

Enfin, s'il s'agit de montrer la commutativité de lR, on peut utiliser le fait que tout élèment de lR est limite d'une suite convergente d'élèments de Q.
En effet, soient u(n) et v(n) deux suites de Q convergents respectivement vers u et v élèments de lR. On a u(n)*v(n)=v(n)*u(n) car u(n) et v(n) sont des suites de Q.
Donc u*v=lim(u(n))*lim(v(n))=lim(u( n)*v(n))=lim(v(n)*u(n))=lim(v( n))*lim(u(n))=v*u . D'où u*v=v*u .

Je sais pas si c'est très rigoureux, j'ai fait ce que je pouvais .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f53d719]

Par exemple, s'il s'agit de démontrer que * est commutative pour des élèments de lN, on peut constater qu'effectuer a*b revient à additionner a fois b, mais il revient au même d'additionner b fois a.

Bah en fait même ca je vois pas pourquoi

[invitea77054e9]

Moi non plus j'arrive pas à expliquer pourquoi ça marche , donc je dit que c'est trivial pour pas m'embeter avec.

A moins qu'un raisonnement par récurrence suffise!
:
Soit c élèment de lN.
On cherche à montrer que pour tout n appartenant à lN c*n=n*c.
Pour n=1, c'est ok vu que 1 est l'élèment neutre pour * dans lN.
supposons la propriété vérifiée pour n, i.e c*n=n*c .
c*(n+1)=c*n+c*1 , par distributivité de + par rapport à * dans lN.
Or c*n=n*c et c*1=1*c, d'où c*(n+1)=c*n+c*1=n*c+1*c=(n+1)* c .
On peut donc conclure que pour tout c, n élèments de lN, c*n=n*c...

[invite3f53d719]

Oué effectivement ca marche bien par récurrence C'est con, mais j'ai du mal à voir intuitivement pourquoi 9+9+9+9+9=5+5+5+5+5+5+5+5+5...

[invite8f53295a]

Oué effectivement ca marche bien par récurrence C'est con, mais j'ai du mal à voir intuitivement pourquoi 9+9+9+9+9=5+5+5+5+5+5+5+5+5...

Dessine un rectangle de côté 5 et 9. Puis compte les points entiers en groupant les lignes, puis les colonnes. C'est quand même assez intuitif ça.

[invite3f53d719]

Oué vu comme ca

[moijdikssékool]

pourquoi 9+9+9+9+9=5+5+5+5+5+5+5+5+5...

chaque éléments de N est défini par la somme du terme 1: 5 = 1+1+1+1+1
45 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 =
(1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1+1 +1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)+ (1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1+1 +1+1)+(1+1+1+1+1) = 9*(1+1+1+1+1) = 9*5
=
(1+1+1+1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1 +1+1+1+1)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1)+ (1+1+1+1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1 +1+1+1+1) = 5*(1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 5*9

ca revient à définir les termes de n par récurrence. Mais cela dit, u(n+1) = n+1 demande à ce que l'indice de u varie en même tems que la valeur qu'on lui applique... .Pour compenser ce problème, on classe par exemple 0 à part et on met 1 dans uo. Ainsi l'indice de u dans lequel on stocke n est n-1: u(n-1) = n, sachant que n-1 est définit au tour précédent. Enfin, on fignole en disant que les élements de N sont la suite v(n) avec v(0) = 0 et v(n) = u(n-1) pour n>0

[invitec314d025]

Vouz comptez nous refaire en détail la construction de IR à partir des axiomes de Péano ?

[moijdikssékool]

chépa, j'ai pas trouvé plus long que 45 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = (1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1+1 +1+1)+(1+1+1+1+1)+1+1+1+1+1)+ (1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)+(1+1+1 +1+1)+(1+1+1+1+1) = 9*(1+1+1+1+1) = 9*5 =(1+1+1+1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+ 1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1+1+1+1+1)+1+1+1+1+1 +1+1+1+1) = 5*(1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 5*9

[invitec314d025]

Tu pourrais me faire la même démo avec un autre exemple j'ai pas bien compris.
Par exemple 398*234

[moijdikssékool]

attends...

[invitec314d025]

Je te laisse 3 mois pour écrire ton message, ça ira ?

[moijdikssékool]

3 mois, c va être un peu just pour donner le temps aux modus d'installer de nouveaux disques durs...