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commutativité de deux opérateurs



  1. #1
    dhahri

    commutativité de deux opérateurs


    ------

    Bonjour, j'ai une question qui m'embete un tout petit peu dont voici l'énoncé
    On sedonne deux opérateurs sur un espace de Hilbert séparable, soit disons , qui commutent sur une base Hilbertienne de cet espace. Ma question est: est ce que ces deux opérateurs commutent sur L'espace de Hilbert tout entier
    Merci bien davantage pour votre aide
    Amicalement
    Dhahri

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rvz

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Citation Envoyé par dhahri Voir le message
    Bonjour, j'ai une question qui m'embete un tout petit peu dont voici l'énoncé
    On sedonne deux opérateurs sur un espace de Hilbert séparable, soit disons , qui commutent sur une base Hilbertienne de cet espace. Ma question est: est ce que ces deux opérateurs commutent sur L'espace de Hilbert tout entier
    Merci bien davantage pour votre aide
    Amicalement
    Dhahri
    Salut,

    Tes opérateurs étant linéaires, si AB = BA sur une base, c'est assez pour dire que AB= BA puisqu'une application linéaire définit sur une base est définie sans ambiguité.

    __
    rvz

  4. #3
    edpiste

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Euh, à mon avis, il s'agit d'une base Hilbertienne, pas d'une base au sens classique. Donc il faut imposer que les opérateurs soient linéaires et continus...

  5. #4
    homotopie

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Bonjour,

    Je crois savoir néanmoins qu'un opérateur est par définition continue. AB-BA est donc nulle sur toutes les combinaisons finies formés à partir des éléments de la base hilbertienne. Or ces combinaisons sont denses par définition de base hilbertienne. AB-BA application continue nulle sur un sous-espace dense est donc nulle partout.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    dhahri

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Bonjour, oui, je suis bien d'accord que par définition meme un opérateur est une application linéaire continue et que ça suffit largement pour dire que si mes deux opérateurs commutent sur la base Hilbertienne de l'espace E alors ils commutent sur l'espace tout entier.
    Bon, la question qui se pose maintenant est est ce que mes deux opérateurs sont continus.
    Pour le premier, c'est opérateur de Hilbet Schmidt donc il est continu.
    Pour le deuxième je ne sais plus est ce qu'il est continu ou non et je n'arrive pas à prouver qu'il est continu. C'est l'opérateur différentiel suivant (l'opérateur de Sturm-Liouville):

    ou c est un parametre réel strictement positif et est une fonction réelle de classe sur R?
    Merci bien davantage pour l'aide
    Amicalement
    Dhahri

  8. #6
    edpiste

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Bonjour,

    Je crois savoir néanmoins qu'un opérateur est par définition continue. AB-BA est donc nulle sur toutes les combinaisons finies formés à partir des éléments de la base hilbertienne. Or ces combinaisons sont denses par définition de base hilbertienne. AB-BA application continue nulle sur un sous-espace dense est donc nulle partout.
    A ben non, pas d'accord ! Les opérateurs continus sont appelés opérateurs bornés...mais il y a aussi les opérateurs non-bornés (voir toute la théorie des semi-groupes).
    Pire, il y a les opérateurs non-linéaires (voir toute la théorie des équations d'évolution abstraites).

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  10. #7
    edpiste

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Citation Envoyé par dhahri Voir le message
    Pour le deuxième je ne sais plus est ce qu'il est continu ou non et je n'arrive pas à prouver qu'il est continu. C'est l'opérateur différentiel suivant (l'opérateur de Sturm-Liouville):

    ou c est un parametre réel strictement positif et est une fonction réelle de classe sur R?
    Tout dépend de l'espace de Hilbert dans lequel tu travailles.
    Si, comme tu l'as suggéré dans ton premier message, on considère l'opérateur comme un endomorphsime de L^2, tu as typiquement un opérateur non-borné, même pas défini sur L^2 tout entier !
    Par contre, ton opérateur est continu de L^2 dans H^-2, de H^2 dans L^2 ou encore de C^2 dans C^0.

    Pour garder un endomorphisme, le meilleur choix c'est de travailler dans l'espace de Schwartz S, mais S n'est pas un espace de Hilbert...

  11. #8
    homotopie

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    A ben non, pas d'accord ! Les opérateurs continus sont appelés opérateurs bornés...mais il y a aussi les opérateurs non-bornés (voir toute la théorie des semi-groupes).
    Pire, il y a les opérateurs non-linéaires (voir toute la théorie des équations d'évolution abstraites).
    Autant pour moi (un peu vieux tout ça pour me rappeler le vocabulaire de manière précise), j'ai supposé (à juste titre apparemment) que les opérateurs devaient être continus et linéaires car la voie emprunté (utilisation de bases) me semble impossible sinon.

  12. #9
    dhahri

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Bonjour,
    @ edpiste: tu dis que mon opérateur n'est pas continu de L^2 dans lui même mais il l'est de L^2 dans H^-2 et de H^2 dans L^2. Question qu'est ce que vous voulez dire par H^2 et H^-2?
    Tu dis aussi que mon opérateur est continue de C^2 dans C^0. Est ce que ça suffit de remarquer que C^2 est dense dans L^2 et que C^0 est dense dans L^2 pour dire que mon opérateur est prolongeable par continuité sur L^2.
    Merci bien davantage pour vos commentaire
    Amicalement
    Dhahri

  13. #10
    edpiste

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Les espaces H^p sont des espaces de Sobolev. Si tu ne connais pas, oublie que j'en ai parlé.
    On ne peut pas prolonger par continuité ton opérateur à L^2 tout entier comme tu le suggères, car même restreint au sous-espace dense C^2, ton opérateur n'est pas continu pour la norme L^2 (juste pour la norme C^2).
    Quoique tu fasses, ton opérateur reste non borné dans L^2 : quel sens donner à la dérivée seconde en un point x fixé, d'une fonction qui est juste L^2 ?
    (si tu connais la théorie des distributions, note qu'elle ne permet pas de répondre à la question précédente)

  14. #11
    homotopie

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Re,
    dhahri puisque ton opérateur est fabriqué à partir de la dérivée première et dérivée seconde, il faut que ta topologie ou métrique en "tienne compte" pour espérer "raisonnablement" avoir continuité.
    Prenons un exemple tout simple : les fonctions de classe C1 sur [0;1] et T(f)=f'.
    Si on munit l'ensemble de ces fonction de la norme de la convergence uniforme alors T n'est pas continue. En effet, on peut définir une suite de fonctions convergeant vers 0 mais dont les oscillations, quant à elles, ne convergent pas vers 0, on peut même s'arranger pour que leur max tende vers l'infini.

    Maintenant, tu peux peut-être choisir (je ne connais pas entièrement ton problème) ta métrique pour rendre ton opérateur continue. Par exemple dans l'exemple précédent si on prend comme métrique llfll1=llfll0+llf'll0, T est alors trivialement continue.

  15. #12
    dhahri

    Re : commutativité de deux opérateurs

    Merci bien pour vos réponses, je suis un peu convaicu que ça ne marche pas la continuité pour la norme 2. je vais voir ce que je peux faire avec les indications données.
    Merci bien encore une autre fois
    Amicalement
    Dhahri

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