Operateurs diagonalisables et triangulables

[invite5105a11a]

Bonjour

Quand peut-on dire qu'un opérateur est diagonalisable??? J'ai trouvé quelques définitions mais elles ne sont pas tres claires. Par exemple: si dimV=n et si A possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable. Mais il est indiqué que ce n'est qu'une condition suffisante.

Est ce que ca veut dire que quand on a pas n valeurs propres distinctes, A n'est pas diagonalisable (meme si certaines valeurs propres ont des multiplicités)??

J'ai aussi trouvé: Si dimV=n et si A est diagonalisable, alors le polynome caractéristique de A est décomposable en un produit de n polynomes linéaires à coefficients dans K. Mais il est indiqué que ceci est une condition nécessaire pour que A soit diagonalisable.
Est ce qu'on peut alors partir du principe que si le polynome caractéristique est décomposable en un produit de n polynomes linéaires, que A est diagonalisable??


Pour les opérateurs triangulables: est-ce qu'il suffit simplement de regarder si le polynome caractéristique est factorisable en polynomes de degré 1 (peu importe le nombre de polynomes de degré 1)???
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[invite6f25a1fe]

si dimV=n et si A possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable

A quoi correspond V et A ici ?
Si A est ton opérateur linéaire (voir sa matrice associée sur une certaine base), alors il existe plusieurs CNS de diagonalisation qui doivent être toutes équivalentes.
Pour moi, la CNS de base est : A est diagonalisable si et seulement si les sous espaces propres de A sont en sommes directes avec ton espace de départ E
Une autre CNS équivalente à la première est qu'il existe un polynôme annulateur de A scindé à racine simple.
Avec les valeurs propres on peut déterminer si A est diagonalisable : si A admet n valeur propres distinctes (condition suffisante mais non nécessaire), alors A est diagonalisable (car son polynôme caractéristique sera scindé à racine simple)
Si A admet des valeurs propres avec un certain degré de multiplicité, alors il faut que où est la multiplicé de ta valeur propre et le sous espace propre associé à cette même valeur propre

Enfin, une CNS pour que A soit trigonalisbles est que le polynôme caractéristique de A doit être scindé

Il faut remarqué que tout dépend de l'espace sur lequel tu est. Par exemple, si on prend M une matrice à coeffiscient réelle appartenant à , alors M peut être diagonalisble sur mais pas sur . En tout cas, elle sera forcément trigonalisable sur . Si M est diagonalisable sur , elle est au moins diagonalisable par bloc sur

Il y a également des cas particulier où les CNS ne sont pas utiles. Par exemple, toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Voila, j'espère ne pas a voir dit trop de bétise et que ca t'aidera un peu

[Bleyblue]

Bonjour,

Un opérateur linéaire F sur un e.v. V de dimension n est diagonalisable :

ssi il est possible de former une base de V avec des vecteurs propres de F

ssi F admet n vecteurs propres linéairements indépendants

Pour la triangulablilisation je ne sais pas ce que c'est donc je ne peux pas t'aider

[invite5105a11a]

Merci bien

[A voir en vidéo sur Futura]